Géométrie différentielle

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  • CHORLAY, Renaud
    Géométrie différentielle. Cours d'enseignement supérieur filmé. La géométrie est absente des Eléments de Mathématiques rédigés par le groupe Bourbaki. Cependant, elle fait bien partie du projet initial. Quelles sont les raisons de cet abandon ? Renaud Chorlay propose ici de retracer, par une étude des archives du groupe, la trajectoire de la géométrie dans le projet bourbachique. Quelle est la géométrie visée ? Quelle est sa place dans le plan de l'ouvrage ? Pour mieux comprendre ces questions, l'intervenant propose de les ré-inscrire dans le contexte global des relations de Bourbaki avec Elie Cartan, dont les membres revendiquent l'héritage. Ces relations s'inscrivent dans le cadre de débats sur les fondations de la géométrie différentielle.
  • VOLKERT, Klaus
    Géométrie différentielle. Conférence filmée. Comment passe-t-on de l'idée d'un espace universellement donné à celle d'espaces produits selon des procédures mathématiques ? Klaus Volkert retrace cette idée à travers les travaux de mathématiciens de la fin du XIXe siècle et du début du XXe siècle. Clifford démontre en 1873 l'existence d'espaces qui ne sont conformes que localement à la géométrie euclidienne. Klein pose la question topologique du lien entre cette dimension locale et la compréhension globale de l'espace. Killing propose une méthode pour étudier ces types d'espaces, qui consiste à étudier l'isométrie locale à l'espace euclidien afin de construire les sous-groupes du groupe d'isométries. Weyl démontre que cette méthode produit des cristaux, et utilise pour les étudier la notion de revêtement topologique. Enfin, Hopf étend ces considérations aux espaces tridimensionnels.
  • BENNEQUIN, Daniel
    Géométrie différentielle. Colloque filmé. Une physique moderne, issue de la physique des particules, n'hésite pas à faire appel aux structures les plus élaborées de la géométrie différentielle ou de la géométrie algébrique. En retour elle apporte plus qu'une liste de problèmes et d'objets nouveaux : des éléments de solutions de questions classiques et des théories nouvelles. Les travaux de Witten, à partir des super-cordes, ont révolutionné la topologie différentielle. Mais le moteur de ces découvertes reste caché à la plupart des mathématiciens, c'est la théorie de la renormalisation. L'exposé de Daniel Bennequin cherche à présenter le nouveau type de formes et de dynamiques que met en jeu la quantification des champs et des champs de cordes ; en particulier le rôle des échelles d'observation et la nature des nouvelles dualités.
  • BOURGUIGNON, Jean-Pierre
    Géométrie différentielle. Les spineurs trouvent leur origine dans les mathématiques avant 1930, avec les travaux d'Elie Cartan et l'invention de l'opérateur de Dirac. Mais Jean-Pierre Bourguignon montre que c'est surtout à partir de la formulation vers 1960 par Atiyah et Singer du théorème de l'indice, qui induit une redécouverte de l'opérateur de Dirac, que la notion de spineur offre prise à un traitement mathématique complet. Le traitement spinoriel des notions mathématiques trouve des applications spectaculaires en topologie et en géométrie différentielle, ainsi qu'en physique, à travers le concept de supersymétrie.
  • PANSU, Pierre
    Géométrie différentielle. Cours d'enseignement supérieur filmé. Pierre Pansu examine les contributions de Mikhaïl Gromov en géométrie riemannienne. Il expose la démonstration par Gromov de l'existence d'espaces périodiques non-euclidiens pouvant être dotés d'une métrique arbitrairement proche de la métrique euclidienne. La preuve de ce théorème fait appel à la notion de distance de Hausdorff. Elle met en place toute une stratégie pour passer du discret au continu à l'aide d'un phénomène de convergence. Cette idée de Gromov trouve un champ d'application en biologie, dans l'identification des protéines soumises à des déformations, mais aussi dans la preuve de la conjecture de Poincaré par Grigori Perelman, preuve qui s'appuie également sur les travaux de Rick Hamilton sur les équations à dérivées partielles. Elle trouve également une grande fécondité en informatique, grâce à son caractère relativement rudimentaire qui la rend aisément traduisible d'un domaine à l'autre.
  • ROWE, David E
    Géométrie différentielle. Conférence filmée. David E. Rowe étudie les travaux de jeunesse de Lie et de Klein. Il révèle l'influence très forte de la géométrie sphérique d'un Darboux sur ces travaux à partir de leur visite à Paris en 1869. Les deux mathématiciens vont notamment trouver des moyens de lier cette géométrie sphérique avec la géométrie linéaire de Plücker et Kummer. Cette étude permet de réévaluer la signification du programme d'Erlangen énoncé par Klein. Il s'agit moins de réduire toute la géométrie à la théorie des groupes que de se donner les conditions pour appliquer les connaissances élaborées dans un domaine des mathématiques sur un autre domaine.
  • Géométrie différentielle. Conférence filmée. En géométrie différentielle, Marsden s'est intéressé à la notion de complétude d'une variété. Une variété est dite complète si ses géodésiques peuvent se prolonger. Le cas est simple pour les variétés riemanniennes compactes. Cependant, dans le cas de variétés pseudo-riemanniennes telles que la relativité générale peut les utiliser, les variétés n'étant pas compactes, le cas est plus complexe. Marsden démontre, en s'appuyant sur les notions de symétrie trouvées dans le théorème de Noether, que la variété est complète si elle est homogène.