Géométrie projective

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  • LOMBARD, Philippe
    Géométrie projective. Conférence filmée. Dans cette vidéo, Philippe Lombard pose le problème de la représentation des espaces de dimension trois dans un espace à quatre dimensions. Il commence par présenter les procédés de perspective et de projection stéréographique qui permettent de représenter des variétés de dimension deux plongés dans notre espace à trois dimensions. Pour la représentation des variétés de dimension trois, il est nécessaire de faire appel à des procédures de collage; c'est toute une gymnastique topologique que Philippe Lombard développe ici. Il expose ensuite les procédés algébriques mis en place par Poincaré pour comprendre et classer ces variétés de dimension trois : l'homotopie et l'homologie. Enfin, il montre comment ces résultats aboutissent à l'énoncé de la conjecture de Poincaré, et à l'hypothèse de Jean-Pierre Luminet selon laquelle notre univers a pour forme l'espace dodécaédrique de Poincaré.
  • BERGER, Marcel
    Géométrie projective. Conférence filmée. Marcel Berger commence par dresser un aperçu des opinions des plus grands mathématiciens du XXe siècle concernant les rapports de la géométrie à l'imagination, à l'intuition et à l'algèbre. Dans la seconde partie de sa communication, il présente quatre problèmes de géométrie qui manifestent le lien étroit entre cette discipline et la faculté d'imagination : le théorème de Pappus ; l'itération de figures à cinq, six et sept côtés ; les mouvements périodiques des billards ; le grand théorème de Poncelet. Ces quatre domaines d'étude font appel aux procédés d'itération et de projection, et leur traitement est emprunté à Richard Schwartz.
  • Géométrie projective. Conférence filmée. Le travail de composition de la géométrie algébrique avec la géométrie projective commence au XVIIe siècle avec les travaux de Desargues, et sera repris début XIXe par Poncelet, Chasles ou Steiner, qui en font un traitement synthétique, sans coordonnées. Christian Houzel étudie un exemple de cette composition dans l'étude par Plucker des bi-tangentes aux quartiques planes, qui l'amène à rapporter l'équation d'une quartique plane à un triangle fondamental. A partir de cette situation et à l'aide des coordonnées, Plucker part à la recherche des autres bi tangentes.