Pour décrire le problème de la géométrisation tel qu'il s'est développé depuis Riemann, il s'agit, selon Alain Michel, de tenir compte d'un double fait. Le premier est que les recherches géométriques trouvent leur source dans un problème philosophique plus général, celui de la définition de l'espace. Le second est que les physiciens et les mathématiciens son conscients de l'enjeu posé par ce problème. Il s'agira alors dans cet exposé de mettre en perspective, de façon philosophique, la manière dont ce problème d'ordre transcendantal a émigré au sein des mathématiques.

Chez Kant, l'espace, en tant que forme a priori de l'intuition sensible, est à la fois objet de la pensée en tant qu'objet des opérations mathématiques, et condition de la pensée elle-même. Cela revient, selon A. Michel, à en faire un méta-objet ; c'est la mise au jour philosophique de ce caractère de méta-objet qui conditionne la dimension réflexive des mathématiques modernes. Dans ce cadre, le problème de la géométrisation se reformule comme problème de l'articulation entre l'espace-objet des mathématiques et espace-condition au sein duquel se déploie le monde de l'expérience physique.

Selon A. Michel, Riemann a procédé au fond d'un point de vue kantien, en se demandant quelles sont les conditions de possibilité d'une mesure dans l'espace. Car c'est bien de l'espace, dont l'existence donnée garantit l'applicabilité des relations physiques, dont il est question. Or, prenant en compte l'existence d'une pluralité de géométries, la démarche de Riemann consiste alors à définir l'espace comme une détermination à l'intérieur du genre plus général de la grandeur étendue, dont chaque espèce est caractérisée par une géométrie. Poincaré, quand à lui, prendra une voie intermédiaire entre le rationalisme kantien et l'empirisme géométrique qu'il décèle chez Riemann : le conventionnalisme.

Face au problème posé par la pluralité des géométries, l'idée fondamentale de Klein consiste à considérer les différents genre de géométries comme théories d'invariants de groupes donnés. Ainsi, l'espace n'est plus l'objet, mais le sujet du génitif : on parlera de l'espace de tel ou tel groupe, et non plus de transformations de l'espace. Cette montée vers l'abstraction est corrélée selon A. Michel à la réflexivité, en tant que remontée de l'objet vers la condition de possibilité de celui-ci.

Avec Klein, la géométrie est prise entre deux pôles. D'une part, un espace homogène , où les propriétés sont invariantes par l'action du groupe fondamental. De l'autre, un espace totalement inhomogène, où l'action du groupe fondamental consiste dans la seule identité. La géométrie riemannienne se trouve prise dans une telle inhomogénéité : on n'y fait pas intervenir l'espace entier, mais tout espace est défini de proche en proche par une forme différentielle.

Un problème semblable se pose dans le cadre de la théorie physique et de sa relation à la géométrie : les espaces-temps de la relativité restreinte sont homogènes par l'action du groupe de Lorentz, et la transposition du géométrique au physique est immédiate ; ceux de la relativité générale ne peuvent plus être soumis à de telles lois universelles, et les longueurs y sont définies de proche en proche par une forme différentielle.

Elie Cartan, pour pallier l'inhomogénéité de l'espace riemannien, fait appel à un outil développé par Levi-Civita, celui du "transport parallèle", qui lui permet d'exploiter la notion de développement le long d'une courbe paramétrée, et qui l'amène a définir son concept de "connexion". En substance, la généralisation des "espaces à connexion" permet d'étendre aux variétés riemanniennes la plupart des théorèmes de la géométrie euclidienne. Cela lui permet de faire le lien avec les géométries de Klein, qui, pour vu qu'elles soient à groupe fondamental simple, deviennent riemanienne par un choix convenable de l'élément générateur de l'espace.

La généralisation d'Elie Cartan permet de faire la synthèse entre deux genres de géométrie. La géométrie de Riemann, d'un côté, fidèle finalement à la tradition cartésienne, est centrée sur la comparaison ponctuelle des distances. Celle de Klein met au centre les notions de coordonnées et d'applications qui ne jouaient auparavant qu'un rôle secondaire. L'intégration des idées riemaniennes dans la théorie de Klein permet alors de re-géométriser la discipline, en évitant de perdre le sens de la géométrie dans son algébrisation.