Géométrisation de la théorie physique : la genèse d'un problème. MICHEL, Alain

Chapitre

Titre: Introduction
Durée: 00:06:55   [00:00:00 > 00:06:55]
Pour décrire le problème de la géométrisation tel qu'il s'est développé depuis Riemann, il s'agit, selon Alain Michel, de tenir compte d'un double fait. Le premier est que les recherches géométriques trouvent leur source dans un problème philosophique plus général, celui de la définition de l'espace. Le second est que les physiciens et les mathématiciens son conscients de l'enjeu posé par ce problème. Il s'agira alors dans cet exposé de mettre en perspective, de façon philosophique, la manière dont ce problème d'ordre transcendantal a émigré au sein des mathématiques.
Titre: La conception kantienne de l'espace et du problème de la géométrisation
Durée: 00:06:29   [00:06:55 > 00:13:25]
Chez Kant, l'espace, en tant que forme a priori de l'intuition sensible, est à la fois objet de la pensée en tant qu'objet des opérations mathématiques, et condition de la pensée elle-même. Cela revient, selon A. Michel, à en faire un méta-objet ; c'est la mise au jour philosophique de ce caractère de méta-objet qui conditionne la dimension réflexive des mathématiques modernes. Dans ce cadre, le problème de la géométrisation se reformule comme problème de l'articulation entre l'espace-objet des mathématiques et espace-condition au sein duquel se déploie le monde de l'expérience physique.
Titre: La position riemannienne du problème de la géométrisation et le conventionnalisme de Poincaré
Durée: 00:04:53   [00:13:25 > 00:18:18]
Selon A. Michel, Riemann a procédé au fond d'un point de vue kantien, en se demandant quelles sont les conditions de possibilité d'une mesure dans l'espace. Car c'est bien de l'espace, dont l'existence donnée garantit l'applicabilité des relations physiques, dont il est question. Or, prenant en compte l'existence d'une pluralité de géométries, la démarche de Riemann consiste alors à définir l'espace comme une détermination à l'intérieur du genre plus général de la grandeur étendue, dont chaque espèce est caractérisée par une géométrie. Poincaré, quand à lui, prendra une voie intermédiaire entre le rationalisme kantien et l'empirisme géométrique qu'il décèle chez Riemann : le conventionnalisme.
Titre: Le programme de Felix Klein et la réflexivité par la théorie des groupes
Durée: 00:05:57   [00:18:18 > 00:24:15]
Face au problème posé par la pluralité des géométries, l'idée fondamentale de Klein consiste à considérer les différents genre de géométries comme théories d'invariants de groupes donnés. Ainsi, l'espace n'est plus l'objet, mais le sujet du génitif : on parlera de l'espace de tel ou tel groupe, et non plus de transformations de l'espace. Cette montée vers l'abstraction est corrélée selon A. Michel à la réflexivité, en tant que remontée de l'objet vers la condition de possibilité de celui-ci.
Titre: La géométrie entre homogène et inhomogène
Durée: 00:05:26   [00:24:15 > 00:29:41]
Avec Klein, la géométrie est prise entre deux pôles. D'une part, un espace homogène , où les propriétés sont invariantes par l'action du groupe fondamental. De l'autre, un espace totalement inhomogène, où l'action du groupe fondamental consiste dans la seule identité. La géométrie riemannienne se trouve prise dans une telle inhomogénéité : on n'y fait pas intervenir l'espace entier, mais tout espace est défini de proche en proche par une forme différentielle.
Titre: La physique et la géométrie entre relativité restreinte et relativité générale
Durée: 00:03:08   [00:29:41 > 00:32:50]
Un problème semblable se pose dans le cadre de la théorie physique et de sa relation à la géométrie : les espaces-temps de la relativité restreinte sont homogènes par l'action du groupe de Lorentz, et la transposition du géométrique au physique est immédiate ; ceux de la relativité générale ne peuvent plus être soumis à de telles lois universelles, et les longueurs y sont définies de proche en proche par une forme différentielle.
Titre: La structure de la synthèse d'Elie Cartan
Durée: 00:06:18   [00:32:50 > 00:39:08]
Elie Cartan, pour pallier l'inhomogénéité de l'espace riemannien, fait appel à un outil développé par Levi-Civita, celui du "transport parallèle", qui lui permet d'exploiter la notion de développement le long d'une courbe paramétrée, et qui l'amène a définir son concept de "connexion". En substance, la généralisation des "espaces à connexion" permet d'étendre aux variétés riemanniennes la plupart des théorèmes de la géométrie euclidienne. Cela lui permet de faire le lien avec les géométries de Klein, qui, pour vu qu'elles soient à groupe fondamental simple, deviennent riemanienne par un choix convenable de l'élément générateur de l'espace.
Titre: La signification historique de la synthèse d'Elie Cartan
Durée: 00:05:25   [00:39:08 > 00:44:34]
La généralisation d'Elie Cartan permet de faire la synthèse entre deux genres de géométrie. La géométrie de Riemann, d'un côté, fidèle finalement à la tradition cartésienne, est centrée sur la comparaison ponctuelle des distances. Celle de Klein met au centre les notions de coordonnées et d'applications qui ne jouaient auparavant qu'un rôle secondaire. L'intégration des idées riemaniennes dans la théorie de Klein permet alors de re-géométriser la discipline, en évitant de perdre le sens de la géométrie dans son algébrisation.
Titre: Questions et discussion
Durée: 00:09:27   [00:44:34 > 00:53:15]

9 chapitres.
  • Pour décrire le problème de la géométrisation tel qu'il s'est développé depuis Riemann, il s'agit, selon Alain Michel, de tenir compte d'un double fait. Le premier est que les recherches géométriques trouvent leur source dans un problème philosophique plus général, celui de la définition de l'espace. Le second est que les physiciens et les mathématiciens son conscients de l'enjeu posé par ce problème. Il s'agira alors dans cet exposé de mettre en perspective, de façon philosophique, la manière dont ce problème d'ordre transcendantal a émigré au sein des mathématiques.
  • Chez Kant, l'espace, en tant que forme a priori de l'intuition sensible, est à la fois objet de la pensée en tant qu'objet des opérations mathématiques, et condition de la pensée elle-même. Cela revient, selon A. Michel, à en faire un méta-objet ; c'est la mise au jour philosophique de ce caractère de méta-objet qui conditionne la dimension réflexive des mathématiques modernes. Dans ce cadre, le problème de la géométrisation se reformule comme problème de l'articulation entre l'espace-objet des mathématiques et espace-condition au sein duquel se déploie le monde de l'expérience physique.
  • Selon A. Michel, Riemann a procédé au fond d'un point de vue kantien, en se demandant quelles sont les conditions de possibilité d'une mesure dans l'espace. Car c'est bien de l'espace, dont l'existence donnée garantit l'applicabilité des relations physiques, dont il est question. Or, prenant en compte l'existence d'une pluralité de géométries, la démarche de Riemann consiste alors à définir l'espace comme une détermination à l'intérieur du genre plus général de la grandeur étendue, dont chaque espèce est caractérisée par une géométrie. Poincaré, quand à lui, prendra une voie intermédiaire entre le rationalisme kantien et l'empirisme géométrique qu'il décèle chez Riemann : le conventionnalisme.
  • Face au problème posé par la pluralité des géométries, l'idée fondamentale de Klein consiste à considérer les différents genre de géométries comme théories d'invariants de groupes donnés. Ainsi, l'espace n'est plus l'objet, mais le sujet du génitif : on parlera de l'espace de tel ou tel groupe, et non plus de transformations de l'espace. Cette montée vers l'abstraction est corrélée selon A. Michel à la réflexivité, en tant que remontée de l'objet vers la condition de possibilité de celui-ci.
  • Avec Klein, la géométrie est prise entre deux pôles. D'une part, un espace homogène , où les propriétés sont invariantes par l'action du groupe fondamental. De l'autre, un espace totalement inhomogène, où l'action du groupe fondamental consiste dans la seule identité. La géométrie riemannienne se trouve prise dans une telle inhomogénéité : on n'y fait pas intervenir l'espace entier, mais tout espace est défini de proche en proche par une forme différentielle.
  • Un problème semblable se pose dans le cadre de la théorie physique et de sa relation à la géométrie : les espaces-temps de la relativité restreinte sont homogènes par l'action du groupe de Lorentz, et la transposition du géométrique au physique est immédiate ; ceux de la relativité générale ne peuvent plus être soumis à de telles lois universelles, et les longueurs y sont définies de proche en proche par une forme différentielle.
  • Elie Cartan, pour pallier l'inhomogénéité de l'espace riemannien, fait appel à un outil développé par Levi-Civita, celui du "transport parallèle", qui lui permet d'exploiter la notion de développement le long d'une courbe paramétrée, et qui l'amène a définir son concept de "connexion". En substance, la généralisation des "espaces à connexion" permet d'étendre aux variétés riemanniennes la plupart des théorèmes de la géométrie euclidienne. Cela lui permet de faire le lien avec les géométries de Klein, qui, pour vu qu'elles soient à groupe fondamental simple, deviennent riemanienne par un choix convenable de l'élément générateur de l'espace.
  • La généralisation d'Elie Cartan permet de faire la synthèse entre deux genres de géométrie. La géométrie de Riemann, d'un côté, fidèle finalement à la tradition cartésienne, est centrée sur la comparaison ponctuelle des distances. Celle de Klein met au centre les notions de coordonnées et d'applications qui ne jouaient auparavant qu'un rôle secondaire. L'intégration des idées riemaniennes dans la théorie de Klein permet alors de re-géométriser la discipline, en évitant de perdre le sens de la géométrie dans son algébrisation.
Titre: Géométrisation de la théorie physique : la genèse d'un problème
Sous-titre: Géométrisation de la théorie physique : sur la genèse d'un problème
Auteur(s): MICHEL, Alain
Durée: 00:53:15
Date de réalisation: 24/09/2001
Lieu de réalisation: Institut Henri Poincaré 11, rue Pierre et Marie Curie, 75231 Paris Cedex 05, France
Langue(s): Français
Alain Michel offre une mise en perspective philosophique de l'évolution de la géométrie de Riemann à Elie Cartan. Sa dynamique est selon lui dictée par une réflexion de nature originellement philosophique sur le statut de l'espace, et se place alors dans une lignée kantienne, qui le thématise à la fois comme objet et comme condition de la pensée des objets. Plus précisément, la géométrie de cette période est prise entre deux pôles : d'une part la géométrie riemanienne, qui n'offre de l'espace qu'une définition locale et différentielle ; d'auter part la géométrie de Klein, qui définit un espace homogène sous l'action du groupe fondamental. C'est à Elie Cartan qu'on doit d'avoir réaliser la synthèse entre ces deux tendances.
Sujet: Sujet
Topique: L’espace, entre physique, mathématiques et philosophie
Libellé: Lien entre géométrie et physique dans les mathématiques et la physique contemopraines
Catégorie linguistique: (Syn.nom.)
Cadre spatial: France
Localisation temporelle du sujet: 24/09/2001
Type: Niveau Master
Public cible: Pour tout public
Perspective philosophique sur les développements conjoints de la géométrie et de la physique, accessibles à tous les étudiants en physique, mathématiques ou philosophie des sciences, ainsi qu'à toute personne intéressée.
MICHEL, Alain. "Géométrisation de la théorie physique : sur la genèse d'un problème", Géométrie au XXe siècle, 2001, [en ligne] URL : http://semioweb.msh-paris.fr/mathopales/geoconf2000/videotheque2.asp?cotevideo=5&fichiervideo=Michel
Type: Droit d'auteur relatif à la production du document source
Le producteur de cette ressource audiovisuelle (enregistrement audiovisuel) est ESCoM - MSH (Paris, le 24 septembre 2001).
Type: Droit d'auteur relatif au contenu du document source
L'auteur de cette ressource audiovisuelle (enregistrement audiovisuel) est ESCoM - MSH (Paris, 24 septembre 2001).
Type: Régime général "Creative Commons" relatifs au document source
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Titre: Analyse de l'intervention d'Alain Michel
Langue(s): Français
Type: Analyse plus détaillé
Comment citer: © POTTIN, Ange. « Analyse de l'intervention d'Alain Michel» (AHM 2014), URL Vidéo: http://semioweb.msh-paris.fr/mathopales/geoconf2000/videotheque2.asp?cotevideo=5&fichiervideo=Michel
Id analyse: 1d98717a-e5c7-4e25-975f-0384739deb5f
Id vidéo: ecf69261-001d-43be-8350-627fb40f6b44
Analyse de l'intervention d'Alain Michel sur une interprétation de la géométrisation de la théorie physique au XXe siècle.