Les origines de la géométrie symplectique. IGLESIAS-ZEMMOUR, Patrick

Chapitre

Titre: Présentation
Durée: 00:06:01   [00:00:00 > 00:06:01]
Patrick Iglesias-Zemmour présente le déroulement de son exposé, qui aura lieu en deux temps. Tout d'abord, il s'agira d'aller chercher chez Lagrange, dans ses travaux de 1808 àn 1811, les origines de la géométrie symplectique à travers sa méthode de variation des constantes. Dans un second temps, on se penchera sur le retour de la géométrie symplectique dans les années 1950, qui reprennent en partie la méthode mise en place par Lagrange, et oubliée entre temps.
Titre: Le problème à deux corps comme problème de perturbation ; les six constantes d'intégration
Durée: 00:10:05   [00:06:01 > 00:16:06]
Le travail de Lagrange s'inscrit à la fois dans la lignée des travaux de Laplace et de Poisson sur le problème de stabilité des planètes et dans une continuité avec ses propres travaux sur les solutions des équations différentielles par la méthode de variation des constantes. Le problème de stabilité, ou problème à deux corps, se présente ainsi : on sait depuis Kepler que le problème à deux corps connaît des solutions analytiques sous forme de sections coniques ; on se demande comment va évoluer le mouvement si on introduit une perturbation de ces solutions, non résolvable analytiquement. Lagrange, pour envisager ce problème, le réduit à six paramètres (a, b, c, h, i, k), qui sont les constantes d'intégration.
Titre: La première étape de la méthode de variation des constantes de Lagrange
Durée: 00:14:40   [00:16:06 > 00:30:46]
Lagrange commence par considérer la perturbation comme un ensemble de chocs infiniment petits qui génèrent une courbe dans l'espace des mouvements de la planète ; celle-ci représente à la fois le mouvement perturbé et le mouvement non perturbé, qu'il nomme orbite osculaire. Les perturbations ne font que changer les valeurs des constantes. Il travaille alors sur les équations du mouvement du demi gand axe de l'orbite, et c'est là qu'il introduit les parenthèses de Lagrange, qui apparaissent comme des coefficients de forces. Le point capital est que ces coefficients ne dépendent pas du temps, mais des constantes (a, b, c, h, i, k)
Titre: La deuxième étape ; conclusion sur le travail de Lagrange
Durée: 00:08:26   [00:30:46 > 00:39:13]
La deuxième étape consiste dans l'inversion de l'équation ainsi obtenue. Dans une interprétation moderne, les parenthèses sont les composantes contravariantes d'une forme sur K, et les crochets ses composantes covariantes. C'est ainsi que Lagrange introduit, en 1811, les premiers éléments du calcul symplectique, appliqués à l'espace des mouvements képleriens des planètes. Ce qui est ici très important, et qui sera oublié par la suite, c'est que le calcul de Lagrange prend place sur l'espace des solutions du système non perturbé, et non pas sur celui des conditions initiales ; ainsi, l'équation ne traite que de la force de perturbation, et ne nous oblige pas à retrouver la force elle-même, car les équations du mouvement non perturbé sont déjà intégrées.
Titre: Remarques et discussion sur la première partie
Durée: 00:22:05   [00:39:13 > 01:01:18]
Les coordonnées (a, b, c, h, i, k) ne sont pas des coordonnées canoniques. Une discussion, que la qualité sonore de la vidéo ne nous permet malheureusement pas d'entendre, s'engage alors avec Daniel Bennequin.
Titre: Le passage de la mécanique analytique à la géométrie symplectique : la globalisation
Durée: 00:13:18   [01:01:18 > 01:14:37]
A son retour dans les années 1950, la géométrie symplectique fera un grand pas supplémentaire par rapport à Lagrange. Là où ce derniers ne considérait l'espace des solutions du mouvement que comme le support de son calcul, la géométrie symplectique l'interprète comme une variété, et donc comme un objet proprement géométrique. On passe dès lors d'une analyse locale, centrée sur le problème particulier du problème à deux corps, à une approche géométrique globalisante, qui permet une construction supplémentaire. Le système dynamique devient interprété comme un objet géométrique sur lequel agit un groupe, celui de Galilée ou de Poincaré, et les symétries de la mécanique s'interprètent comme des actions de ces groupes qui préservent la nature de l'objet géométrique.
Titre: Deux exemples : le théorème de décomposition barycentrique et les systèmes élémentaires
Durée: 00:11:31   [01:14:37 > 01:26:08]
Dans cette section, Patrick Iglesias-Zemmour étudie deux exemples d'application de la géométrie symplectique. Le premier est le théorème de la décomposition barycentrique. A l'action d'un groupe préservant une forme symplectique est associée l'application moment. Cette application, liée au théorème de Noether, est constante sur les solutions et caractérise l'ensemble des quantités conservées. La question qu'on se pose alors est de savoir comme cette application, qui est un objet géométrique, varie sous l'action du groupe de Galilée. Le théorème de la décomposition barycentrique vient alors pour exprimer la globalisation de la symétrie par la classe de cohomologie associée au groupe de Galilée. Il exprime la géométrisation du calcul symplectique. Le seconde application est la recherche des systèmes élémentaires. Il s'agit de chercher les variétés symplectiques les plus simples : ce sont les systèmes dynamiques transitifs. On s'aperçoit alors que les orbuites coadjointes de ces systèmes sont IR6 x S2 ; et on se rend compte que la quantification de ce terme S2 fait apparaître le spin de la particule. Ainsi, la géométrisation montre le chemin par lequel il va falloir quantifier.
Titre: Discussion
Durée: 00:09:59   [01:26:08 > 01:35:28]

8 chapitres.
  • Patrick Iglesias-Zemmour présente le déroulement de son exposé, qui aura lieu en deux temps. Tout d'abord, il s'agira d'aller chercher chez Lagrange, dans ses travaux de 1808 àn 1811, les origines de la géométrie symplectique à travers sa méthode de variation des constantes. Dans un second temps, on se penchera sur le retour de la géométrie symplectique dans les années 1950, qui reprennent en partie la méthode mise en place par Lagrange, et oubliée entre temps.
  • Le travail de Lagrange s'inscrit à la fois dans la lignée des travaux de Laplace et de Poisson sur le problème de stabilité des planètes et dans une continuité avec ses propres travaux sur les solutions des équations différentielles par la méthode de variation des constantes. Le problème de stabilité, ou problème à deux corps, se présente ainsi : on sait depuis Kepler que le problème à deux corps connaît des solutions analytiques sous forme de sections coniques ; on se demande comment va évoluer le mouvement si on introduit une perturbation de ces solutions, non résolvable analytiquement. Lagrange, pour envisager ce problème, le réduit à six paramètres (a, b, c, h, i, k), qui sont les constantes d'intégration.
  • Lagrange commence par considérer la perturbation comme un ensemble de chocs infiniment petits qui génèrent une courbe dans l'espace des mouvements de la planète ; celle-ci représente à la fois le mouvement perturbé et le mouvement non perturbé, qu'il nomme orbite osculaire. Les perturbations ne font que changer les valeurs des constantes. Il travaille alors sur les équations du mouvement du demi gand axe de l'orbite, et c'est là qu'il introduit les parenthèses de Lagrange, qui apparaissent comme des coefficients de forces. Le point capital est que ces coefficients ne dépendent pas du temps, mais des constantes (a, b, c, h, i, k)
  • La deuxième étape consiste dans l'inversion de l'équation ainsi obtenue. Dans une interprétation moderne, les parenthèses sont les composantes contravariantes d'une forme sur K, et les crochets ses composantes covariantes. C'est ainsi que Lagrange introduit, en 1811, les premiers éléments du calcul symplectique, appliqués à l'espace des mouvements képleriens des planètes. Ce qui est ici très important, et qui sera oublié par la suite, c'est que le calcul de Lagrange prend place sur l'espace des solutions du système non perturbé, et non pas sur celui des conditions initiales ; ainsi, l'équation ne traite que de la force de perturbation, et ne nous oblige pas à retrouver la force elle-même, car les équations du mouvement non perturbé sont déjà intégrées.
  • A son retour dans les années 1950, la géométrie symplectique fera un grand pas supplémentaire par rapport à Lagrange. Là où ce derniers ne considérait l'espace des solutions du mouvement que comme le support de son calcul, la géométrie symplectique l'interprète comme une variété, et donc comme un objet proprement géométrique. On passe dès lors d'une analyse locale, centrée sur le problème particulier du problème à deux corps, à une approche géométrique globalisante, qui permet une construction supplémentaire. Le système dynamique devient interprété comme un objet géométrique sur lequel agit un groupe, celui de Galilée ou de Poincaré, et les symétries de la mécanique s'interprètent comme des actions de ces groupes qui préservent la nature de l'objet géométrique.
  • Dans cette section, Patrick Iglesias-Zemmour étudie deux exemples d'application de la géométrie symplectique. Le premier est le théorème de la décomposition barycentrique. A l'action d'un groupe préservant une forme symplectique est associée l'application moment. Cette application, liée au théorème de Noether, est constante sur les solutions et caractérise l'ensemble des quantités conservées. La question qu'on se pose alors est de savoir comme cette application, qui est un objet géométrique, varie sous l'action du groupe de Galilée. Le théorème de la décomposition barycentrique vient alors pour exprimer la globalisation de la symétrie par la classe de cohomologie associée au groupe de Galilée. Il exprime la géométrisation du calcul symplectique. Le seconde application est la recherche des systèmes élémentaires. Il s'agit de chercher les variétés symplectiques les plus simples : ce sont les systèmes dynamiques transitifs. On s'aperçoit alors que les orbuites coadjointes de ces systèmes sont IR6 x S2 ; et on se rend compte que la quantification de ce terme S2 fait apparaître le spin de la particule. Ainsi, la géométrisation montre le chemin par lequel il va falloir quantifier.
Titre: Les origines de la géométrie symplectique
Sous-titre: Histoires de Géométries, année 2002.
Auteur(s): IGLESIAS-ZEMMOUR, Patrick
Durée: 01:35:28
Date de réalisation: 11/03/2002
Lieu de réalisation: Maison des Sciences de l'Homme, 54 Boulevard Raspail, 75006 Paris, France
Genre: Cours d'enseignement supérieur filmé
Dans cette conférence, Patrick Iglesias-Zemmour retrace les origines de la géométrie symplectique dans les travaux de Lagrange. Ce dernier, pour étudier le problème à deux corps, met en place une méthode de variations des constantes. Cette méthode permet au calcul de prendre place directement sur l'espace des solutions képleriennes du mouvement, et non pas sur celui des conditions initiales. Cette idée, oubliée pendant longtemps, se retrouve au centre de la géométrie symplectique telle qu'elle apparaît dans les années 1950. A partir de cette époque, le calcul de Lagrange se trouve géométrisé, et par-là même globalisé. L'espace des solutions n'est plus un simlpe support pour le calcul, mais est interprété comme une variété sur laquelle agit le groupe de Galilée. Pour terminer, Patrick Iglesias-Zemmour étudie deux conséquences de cette nouvelle géométrie, dans le théorème de décomposition barycentrique et dans la recherche des systèmes élémentaires.
Sujet: Sujet
Topique: Géométrie symplectique
Sujet: Personnalité
Topique: Lagrange, Joseph-Louis
Sujet: Sujet
Topique: Mécanique analytique
Patrick Iglesias-Zemmour retrace les origines de la géométrie symplectique dans la mécanique analytique de Lagrange
Nom: ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche)
Rôle: Producteurs d'oeuvres audiovisuelles
Adresse: FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France
ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche), FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France
Nom: Iglesias
Prénom: Patrick
Rôle: Mathématiciens
Fonction: Laboratoire d'Analyse Topologie Probabilités - LATP- Université Aix-Marseille 1 et Clay Mathematics Institute - CMI - Cambridge - Massachussets - USA
Patrick Iglesias, Laboratoire d'Analyse Topologie Probabilités - LATP- Université Aix-Marseille 1 et Clay Mathematics Institute - CMI - Cambridge - Massachussets - USA
IGLESIAS-ZEMMOUR, Patrick. "Les origines de la géométrie symplectique" (Histoires de Géométries, 2002)
Type: Droit d'auteur relatif au contenu du document source
Cette ressource audiovisuelle est protégée par le régime "Creative Commons". Vous êtes libres de la reproduire, distribuer et communiquer au public. Mais vous devez impérativement signaler la paternité de(s) ayant-droit(s) du contenu du média: Patrick Iglesias, Laboratoire d'Analyse Topologie Probabilités - LATP- Université Aix-Marseille 1 et Clay Mathematics Institute - CMI - Cambridge - Massachussets - USA. Vous n'avez pas le droit de la modifier ni d'en faire un usage commercial. Lecture, diffusion et exploitation concrète de cette ressource audiovisuelle présuppose que vous ayez accepté les règles juridiques Creative Commons décrites dans la page http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.
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Titre: Analyse de l'intervention de Patrick Iglesias-Zemmour au séminaire Histoires de Géométries, année 2002
Langue(s): Français
Comment citer: © POTTIN, Ange. « Analyse de l'intervention de Patrick Iglesias-Zemmour au séminaire Histoires de Géométries, année 2002» (AHM 2014)
Id analyse: 20adb765-d5fd-4d8f-89c3-5fdbfc4a883f
Id vidéo: f699db18-9c26-4bf6-a9fa-7be48fa5a95b
Analyse de l'intervention de Patrick Iglesias-Zemmour sur les origines de la géométrie symplectique au séminaire Histoires de Géométries, année 2002.