La redécouverte des spineurs par les mathématiciens. BOURGUIGNON, Jean-Pierre

Chapitre

Titre: Les spineurs avant 1930
Durée: 00:05:03   [00:00:00 > 00:05:03]
Jean-Pierre Bourguignon retrace les origines des spineurs chez Elie Cartan en 1913, dans le cadre de la classification des représentations complexes de l'algèbre de Lie SOn, et chez Dirac en 1928, dans la recherche d'un opérateur différentiel de premier ordre permettant de représenter le mouvement des électrons relativistes. La révolution qu'identifie Jean-Pierre Bourguignon est la suivante : la fonction d'onde de l'électron ne peut désormais plus être une fonction scalaire, mais un champ de spineurs.
Titre: Des années 30 aux années 50 chez les mathématiciens
Durée: 00:05:38   [00:05:03 > 00:10:42]
Entre les années 30 et les années 50 se développent les outils indispensables pour un retour des spineurs dans les mathématiques. En 1935, Hermann Weyl et Richard Brauer généralisent la notion de spineur à toutes les dimensions ; Claude Chevalley donne à la théorie des spineurs un fondement algébrique ; Steenrod et Ehresmann mettent en place la théorie des fibrés.
Sujet: Personnalité
Topique: Chevalley, Claude
Personnalité: Ehresmann, Charles
Personnalité: Weyl, Hermann
Titre: Le tournant du théorème de l'indice : énoncé du théorème
Durée: 00:01:41   [00:10:42 > 00:12:24]
J.-P. Bourguignon identifie dans le théorème de l'indice formulé vers 1960 par Michael F. Atiyah et Isadore M. Singer le tournant principal dans le traitement mathématique des spineurs. Ce théorème établit une relation d'égalité entre l'indice analytique et l'indice géométrique de l'opérateur différentiel linéaire sur un fibré vectoriel. Il est notamment démontré par l'établissement de l'invariance par homotopie de l'indice géométrique et de l'indice analytique.
Titre: L'opérateur de Dirac-Atiyah-Singer
Durée: 00:07:17   [00:12:24 > 00:19:42]
A l'occasion de leurs recherches sur le théorème de l'indice, Atiyah et Singer ont redécouvert l'opérateur de Dirac sur le champ des spineurs. En prouvant le théorème de l'indice sur l'opérateur de Dirac, il apparaît possible d'engendrer toutes les classes d'homotopie des symboles d'opérateurs elliptiques à partir de celui-ci.
Titre: Premières applications du théorème de l'indice
Durée: 00:04:50   [00:19:42 > 00:24:32]
Le théorème de l'indice trouve ses premières applications dans des théorèmes d'intégralité d'un certain nombre d'invariants topologiques. On peut notamment établir que l'indice géométrique de l'opérateur de Dirac est égal au Â-genre de M.
Titre: Les conséquences topologiques
Durée: 00:05:53   [00:24:32 > 00:30:26]
A partir et autour du théorème de l'indice va se développer dans toute sa généralité la K-théorie, une théorie cohomologique fondée sur les relations d'équivalence que l'on peut bâtir entre fibrés vectoriels sur une variété. De manière générale, J.-P. Bourguignon montre que la lecture "spinorielle" de questions topologiques donne des résultats optimaux, et prouve la force de pénétration exceptionnelle du point de vue spinoriel dans différents domaines des mathématiques.
Titre: Les conséquences géométriques
Durée: 00:06:34   [00:30:26 > 00:37:00]
Du côté de la géométrie différentielle, le point de vue spinoriel a également amené certains résultats importants. J.-P. Bourguignon présente le rapport entre spineurs harmoniques et existence de métriques à courbuire scalaire positive donné par la formule de Schrödinger-Lichnerowicz, l'utilisation par Witten de l'opérateur de Dirac dans sa conjecture de la masse positive en relativité générale, et enfin évoque l'approche spinorielle de l'espace-temps par les twisters de Penrose.
Sujet: Sujet
Topique: Géométrie différentielle
Sujet: Personnalité
Topique: Witten, Edward
Titre: Supersymétrie et supergéométrie
Durée: 00:08:45   [00:37:00 > 00:45:45]
Une nouvelle étape dans l'utilisation du champ des spineurs par les physiciens a été franchie avec l'introduction du concept de supersymétrie. Ces approches ont suggéré de développer une supergéométrie qui aurait, à côté du secteur traditionnel où les variables de position commutent, un secteur fermionique où les variables de position anticommutent. Dans ce contexte, on peut définir des super-variétés, des super-champs de vecteurs, des super-métriques, etc.
Titre: Questions et discussion
Durée: 00:04:53   [00:45:45 > 00:50:09]

9 chapitres.
  • Jean-Pierre Bourguignon retrace les origines des spineurs chez Elie Cartan en 1913, dans le cadre de la classification des représentations complexes de l'algèbre de Lie SOn, et chez Dirac en 1928, dans la recherche d'un opérateur différentiel de premier ordre permettant de représenter le mouvement des électrons relativistes. La révolution qu'identifie Jean-Pierre Bourguignon est la suivante : la fonction d'onde de l'électron ne peut désormais plus être une fonction scalaire, mais un champ de spineurs.
  • Entre les années 30 et les années 50 se développent les outils indispensables pour un retour des spineurs dans les mathématiques. En 1935, Hermann Weyl et Richard Brauer généralisent la notion de spineur à toutes les dimensions ; Claude Chevalley donne à la théorie des spineurs un fondement algébrique ; Steenrod et Ehresmann mettent en place la théorie des fibrés.
  • J.-P. Bourguignon identifie dans le théorème de l'indice formulé vers 1960 par Michael F. Atiyah et Isadore M. Singer le tournant principal dans le traitement mathématique des spineurs. Ce théorème établit une relation d'égalité entre l'indice analytique et l'indice géométrique de l'opérateur différentiel linéaire sur un fibré vectoriel. Il est notamment démontré par l'établissement de l'invariance par homotopie de l'indice géométrique et de l'indice analytique.
  • A l'occasion de leurs recherches sur le théorème de l'indice, Atiyah et Singer ont redécouvert l'opérateur de Dirac sur le champ des spineurs. En prouvant le théorème de l'indice sur l'opérateur de Dirac, il apparaît possible d'engendrer toutes les classes d'homotopie des symboles d'opérateurs elliptiques à partir de celui-ci.
  • A partir et autour du théorème de l'indice va se développer dans toute sa généralité la K-théorie, une théorie cohomologique fondée sur les relations d'équivalence que l'on peut bâtir entre fibrés vectoriels sur une variété. De manière générale, J.-P. Bourguignon montre que la lecture "spinorielle" de questions topologiques donne des résultats optimaux, et prouve la force de pénétration exceptionnelle du point de vue spinoriel dans différents domaines des mathématiques.
  • Du côté de la géométrie différentielle, le point de vue spinoriel a également amené certains résultats importants. J.-P. Bourguignon présente le rapport entre spineurs harmoniques et existence de métriques à courbuire scalaire positive donné par la formule de Schrödinger-Lichnerowicz, l'utilisation par Witten de l'opérateur de Dirac dans sa conjecture de la masse positive en relativité générale, et enfin évoque l'approche spinorielle de l'espace-temps par les twisters de Penrose.
  • Une nouvelle étape dans l'utilisation du champ des spineurs par les physiciens a été franchie avec l'introduction du concept de supersymétrie. Ces approches ont suggéré de développer une supergéométrie qui aurait, à côté du secteur traditionnel où les variables de position commutent, un secteur fermionique où les variables de position anticommutent. Dans ce contexte, on peut définir des super-variétés, des super-champs de vecteurs, des super-métriques, etc.
Titre: La redécouverte des spineurs par les mathématiciens
Sous-titre: La redécouverte des spineurs par les mathématiciens dans la seconde moitié du XXe
Auteur(s): BOURGUIGNON, Jean-Pierre
Durée: 00:50:09
Date de réalisation: 29/09/2001
Lieu de réalisation: L' ACADEMIE DES SCIENCES - Institut de France 23, quai de Conti, 75006, Paris Salle Hugot
Langue(s): Français
Les spineurs trouvent leur origine dans les mathématiques avant 1930, avec les travaux d'Elie Cartan et l'invention de l'opérateur de Dirac. Mais Jean-Pierre Bourguignon montre que c'est surtout à partir de la formulation vers 1960 par Atiyah et Singer du théorème de l'indice, qui induit une redécouverte de l'opérateur de Dirac, que la notion de spineur offre prise à un traitement mathématique complet. Le traitement spinoriel des notions mathématiques trouve des applications spectaculaires en topologie et en géométrie différentielle, ainsi qu'en physique, à travers le concept de supersymétrie.
Sujet: Personnalité
Topique: Cartan, Elie
Cadre spatial: France
(1869-1951)
Sujet: Personnalité
Topique: Dirac, Paul
(1902-1984)
Sujet: Sujet
Topique: Géométrie différentielle
Libellé: Théorie des spineurs
Catégorie linguistique: (Syn.nom.)
Sujet: Sujet
Topique: Retours de la physique dans la géométrie
Libellé: Théorie de spineurs
Catégorie linguistique: (Syn.nom.)
Cadre spatial: France
Localisation temporelle du sujet: 29/09/2001
Sujet: Sujet
Topique: Théorie quantique des champs
Type: Contexte "Recherche"
Public cible: Pour spécialistes
Utile pour les étudiants en master de mathématiques et de physique.
BOURGUIGNON, Jean-Pierre. "La redécouverte des spineurs par les mathématiciens dans la seconde moitié du XXe siècle", Géométrie au XXe siècle, 2001, ESCOM, [en ligne] URL : http://semioweb.msh-paris.fr/mathopales/geoconf2000/videotheque2.asp?cotevideo=46&fichiervideo=Bourguignon
Type: Droit d'auteur relatif à la production du document source
Le producteur de cette ressource audiovisuelle (enregistrement audiovisuel) est ESCOM (Paris, 21 au 29 septembre 2001).
Type: Droit d'auteur relatif au contenu du document source
L'auteur de cette ressource audiovisuelle (enregistrement audiovisuel) est ESCOM (Paris, 21 au 29 septembre 2001).
Type: Régime général "Creative Commons" relatifs au document source
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Titre: Analyse de l'intervention de Jean-Pierre Bourguignon
Langue(s): Français
Id analyse: 2cb14e26-9926-4c3b-9e2f-e9eae447ba24
Id vidéo: 184e5532-1b14-4781-97d1-348334f629fa
Analyse de l'intervention de Jean-Pierre Bourguignon sur la redécouverte de la notion de spineur par les mathématiciens.