Introduction à l'histoire de la géométrie algébrique. HOUZEL, Christian

Chapitre

Titre: Présentation
Durée: 00:05:48   [00:00:00 > 00:05:48]
En tant que discipline, la géométrie algébrique s'est développée au XIXe siècle, au moment où les mathématiciens ont étendu l'étude des courbes algébriques aux surfaces algébriques. Dans cette conférence, Christian Houzel va néanmoins surtout insister sur les sources anciennes de cette discipline, à la consitution progressive de ses problèmes et de ses méthodes à partir du Moyen-Âge arabe.
Titre: Les équations cubiques du IXe au XIIe siècle
Durée: 00:10:11   [00:05:48 > 00:16:00]
Selon Christian Houzel, la première source de la géométrie algébrique provient de la solution des équations cubiques dans les mathématiques arabes. Les mathématiciens médiévaux, ne disposant pas des outils algébriques pour résoudre ces équations, inventent un mode de résolution géométrique par intersection de deux coniques, c'est-à-dire par ce que Pappus qualifiait de problèmes solides. D'autres problèmes, entre géométrie et algèbre, structurent la discipline du IXe au XIIe siècle : la construction d'un heptagone régulier ; le problème d'Archimède de division de la sphère par un plan tel que le rapport des volumes soit donné ; la trisection de l'angle. Christian Houzel évoque notamment la manière dont al Mahani, Abu el Jud et Ummar al Khayyam traitent ces problèmes.
Sujet: Personnalité
Topique: Al Mahani
Sujet: Personnalité
Topique: Khayyam, Omar
Titre: Les exemples de l'insertion de moyennes proportionnelles et du problème d'Archimède
Durée: 00:13:53   [00:16:00 > 00:29:54]
Christian Houzel présente ici deux exemples de la manière dont les mathématiciens arabes traitaient les problèmes de géométrie algébriques. Au XIIe siècle, Ummar al Khayyam propose une résolution de l'insertion de deux moyennes proportionnelles par intersection d'hyperboles, qui l'amène à interpréter ces objets comme des objets algébriques. Au Xe siècle, al Quhi proposait une solutin du problème d'Archimède par intersection d'une parabole d'une hyperbole équilatère ; travail qu'al Khayyam reprendra dans le cadre de l'algèbre.
Titre: Remarques sur les mathématiques arabes
Durée: 00:09:19   [00:29:54 > 00:39:14]
Christian Houzel fait remarquer que la manière dont il a présenté le travail des mathématiciens arabes ne correspond pas à la manière dont eux-mêmes le présentaient : en effet, ces derniers adoptaient un mode synthétique, en ce sens qu'ils ne montraient pas comment ils avaient trouvé la solution du problème. Il fait également un point sur la nouveauté introduite par ces savants dans le traitement géométrique des problèmes, par rapport à ce que faisait par exemple un Apollonius : c'est que les segments et les aires dont ils traitent reçoivent directement une interprétation algébrique. Il évoque ensuite le problème de l'existence d'un point d'intersection pour deux coniques données, point aveugle du travail d'al Khayyam. Enfin, il parle succintement des traités sur les compas parfaits ; ces derniers doivent être plutôt interprétés en termes d'objets théoriques qu'en tant qu'objets réels.
Titre: Descartes et les équations cubiques
Durée: 00:07:32   [00:39:14 > 00:46:46]
A bien des égards, Descartes se place sur le même terrain que les mathématiciens arabes. En 1619, il donne une classification d'équations cubiques, et les résoud par intersection de coniques ; à la même période, il invente un appareil qui lui permet de diviser les angles en n parties égales, ainsi qu'un compas qui lui permet de tracer des coniques. En 1625, il a obtenu une classification de toutes les équations cubiques par intersection d'une parabole et d'un cercle. l'idée qui guide son travail à partir des années 1620 est de réinterpréter toutes les grandeurs comme des segments, et non comme des nombres.
Sujet: Personnalité
Topique: Descartes, René
Titre: Descartes et le problème de Pappus
Durée: 00:11:51   [00:46:46 > 00:58:37]
En 1629, Golius propose à Descartes de traiter le problème de Pappus, dont ce dernier exposera la solution dans la Géométrie de 1637. Pour le résoudre, il fait intervenir l'équation de la courbe, ce qui le met sur la voie d'une interprétation de toutes les courbes en tant qu'équations. Il en viendra à penser que le problème de Pappus a une dimension universelle, et que toute courbe algébrique peut être obtenue comme solution du problème de Pappus. Mais ce n'est pas vrai.
Sujet: Personnalité
Topique: Descartes, René
Titre: Le programme de Descartes
Durée: 00:09:38   [00:58:37 > 01:08:15]
Le programme de Descartes consiste à limiter la géométrie à des courbes algébriques, en rejetant les courbes transcendantes comme la logarithmique, et à étudier les courbes à travers leur équation. Christian Houzel fait remarquer qu'il ne revient pas à Descartes d'avoir mis en place le système de coordonée qu'on qualifie de cartésien ; celui-ci est présent chez al Khayyam, mais on ne trouve jamais chez Descartes l'idée de repérer un point quelconque du plan par des coordonnées. La seule chose qu'on trouve, c'est la construction d'une normale à la tangente d'une courbe. Pour ce qui est du programme cité plus haut, Descartes ne fait que l'esquisser, et ce sera le travail de ses successeurs que de le développer. Ce sont les Bernoulli, Newton, Euler ou Krammer qui vont porter au plus loin le renversement que Descartes avait esquissé par rapport aux mathématiques arabes. Jusqu'alors, on s'intéressait aux courbes pour résoudre des équations ; à partir de là, ce sont les équations qu'on fait intervenir pour étudier les intersections géométriques !
Sujet: Personnalité
Topique: Descartes, René
Titre: Composition avec la géométrie projective
Durée: 00:07:02   [01:08:15 > 01:15:18]
Le travail de composition de la géométrie algébrique avec la géométrie projective commence au XVIIe siècle avec les travaux de Desargues, et sera repris début XIXe par Poncelet, Chasles ou Steiner, qui en font un traitement synthétique, sans coordonnées. Christian Houzel étudie un exemple de cette composition dans l'étude par Plucker des bi-tangentes aux quartiques planes, qui l'amène à rapporter l'équation d'une quartique plane à un triangle fondamental. A partir de cette situation et à l'aide des coordonnées, Plucker part à la recherche des autres bi tangentes.
Sujet: Personnalité
Topique: Desargues, Girard
Sujet: Sujet
Topique: Géométrie projective
Sujet: Personnalité
Topique: Maclaurin, Colin
Sujet: Personnalité
Topique: Plücker, Julius
Sujet: Personnalité
Topique: Poncelet, Jean-Victor
Titre: Le travail de Riemann sur les intégrales abéliennes
Durée: 00:07:01   [01:15:18 > 01:22:19]
Selon C. Houzel, le travail de Riemann sur les intégrales abéliennes en 1857 va révolutionner le paysage de la géométrie algébrique. Le principe, donné par Abel en 1826, de telles équations est le suivant : la somme d'intégrales de f(x,y) dx peut être ramené de nombres fixes p ne dépendant que de l'équation t(x,y) = 0. Riemann étudie systématiquement ces intégrales et a l'idée de les ramener à des surfaces ; pour ce faire, il remplace le plan de la variable copmplexe x par une surface de Riemann composée de n feuillets, qui se ramifient là où les solutions en y se concentrent. Il démontre que les intégrales de fonction algébriques se répartissent en trois espèces : les intégrales régulières sur toute la surface ; celles qui n'ont comme singularités que des pôles ; celles qui ont des singularités logarithmiques.
Sujet: Personnalité
Topique: Riemann, Bernhard
Titre: Le travail de Clebsch sur les intégrales abéliennes
Durée: 00:08:55   [01:22:19 > 01:31:15]
Clebsch, en 1863-1864, applique la théorie de Riemann sur un système fondamental d'intégrales de la première espèce. Il étudie les systèmes de points sur des surfaces de Riemann, et trouve les conditions pour trouver les points à l'intersection de deux courbes algébriques. Il répond également à un problème auparavant étudié par Krammer, Mac Laurin et Hesse, celui des points d'inflexion d'une cubique plane.
Sujet: Personnalité
Topique: Clebsch, Alfred
Titre: Algébrisation par Dedekind et Weber
Durée: 00:03:44   [01:31:15 > 01:34:59]
L'idée qui guide le travail de Dedekind est de définir les points de la surface de Riemann de manière entièrement algébrique, en se servant de l'analogie avec la théorie des nombres algébriques ; ce qui revient à, à partir du corps des rationnels, faire une extension déterminée par l'équation.
Titre: L'analyse diophantienne
Durée: 00:06:37   [01:34:59 > 01:41:36]
La pratique de l'analyse diophantienne dans la géométrie algébrique trouve son point de départ dans un mémoire de Poincarté en 190, concernant la recherche des points à coordonnée rationnelle sur une courbe algébrique, ce qui conduit à classer les problèmes diophantiens à l'aide de la géométrie. L'analyse diophantienne a amené, au XXe siècle, au développement d'une géométrie algébrique abstraite. en 1924, Artin étudie les équations diophantiennes modulo un certain nombre premier. Christian Houzel évoque ensuite les travaux de Hasse, de Schmidt et de Serre.
Titre: Questions et discussion
Durée: 00:14:17   [01:41:36 > 01:54:26]

13 chapitres.
  • En tant que discipline, la géométrie algébrique s'est développée au XIXe siècle, au moment où les mathématiciens ont étendu l'étude des courbes algébriques aux surfaces algébriques. Dans cette conférence, Christian Houzel va néanmoins surtout insister sur les sources anciennes de cette discipline, à la consitution progressive de ses problèmes et de ses méthodes à partir du Moyen-Âge arabe.
  • Selon Christian Houzel, la première source de la géométrie algébrique provient de la solution des équations cubiques dans les mathématiques arabes. Les mathématiciens médiévaux, ne disposant pas des outils algébriques pour résoudre ces équations, inventent un mode de résolution géométrique par intersection de deux coniques, c'est-à-dire par ce que Pappus qualifiait de problèmes solides. D'autres problèmes, entre géométrie et algèbre, structurent la discipline du IXe au XIIe siècle : la construction d'un heptagone régulier ; le problème d'Archimède de division de la sphère par un plan tel que le rapport des volumes soit donné ; la trisection de l'angle. Christian Houzel évoque notamment la manière dont al Mahani, Abu el Jud et Ummar al Khayyam traitent ces problèmes.
  • Christian Houzel présente ici deux exemples de la manière dont les mathématiciens arabes traitaient les problèmes de géométrie algébriques. Au XIIe siècle, Ummar al Khayyam propose une résolution de l'insertion de deux moyennes proportionnelles par intersection d'hyperboles, qui l'amène à interpréter ces objets comme des objets algébriques. Au Xe siècle, al Quhi proposait une solutin du problème d'Archimède par intersection d'une parabole d'une hyperbole équilatère ; travail qu'al Khayyam reprendra dans le cadre de l'algèbre.
  • Christian Houzel fait remarquer que la manière dont il a présenté le travail des mathématiciens arabes ne correspond pas à la manière dont eux-mêmes le présentaient : en effet, ces derniers adoptaient un mode synthétique, en ce sens qu'ils ne montraient pas comment ils avaient trouvé la solution du problème. Il fait également un point sur la nouveauté introduite par ces savants dans le traitement géométrique des problèmes, par rapport à ce que faisait par exemple un Apollonius : c'est que les segments et les aires dont ils traitent reçoivent directement une interprétation algébrique. Il évoque ensuite le problème de l'existence d'un point d'intersection pour deux coniques données, point aveugle du travail d'al Khayyam. Enfin, il parle succintement des traités sur les compas parfaits ; ces derniers doivent être plutôt interprétés en termes d'objets théoriques qu'en tant qu'objets réels.
  • A bien des égards, Descartes se place sur le même terrain que les mathématiciens arabes. En 1619, il donne une classification d'équations cubiques, et les résoud par intersection de coniques ; à la même période, il invente un appareil qui lui permet de diviser les angles en n parties égales, ainsi qu'un compas qui lui permet de tracer des coniques. En 1625, il a obtenu une classification de toutes les équations cubiques par intersection d'une parabole et d'un cercle. l'idée qui guide son travail à partir des années 1620 est de réinterpréter toutes les grandeurs comme des segments, et non comme des nombres.
  • En 1629, Golius propose à Descartes de traiter le problème de Pappus, dont ce dernier exposera la solution dans la Géométrie de 1637. Pour le résoudre, il fait intervenir l'équation de la courbe, ce qui le met sur la voie d'une interprétation de toutes les courbes en tant qu'équations. Il en viendra à penser que le problème de Pappus a une dimension universelle, et que toute courbe algébrique peut être obtenue comme solution du problème de Pappus. Mais ce n'est pas vrai.
  • Le programme de Descartes consiste à limiter la géométrie à des courbes algébriques, en rejetant les courbes transcendantes comme la logarithmique, et à étudier les courbes à travers leur équation. Christian Houzel fait remarquer qu'il ne revient pas à Descartes d'avoir mis en place le système de coordonée qu'on qualifie de cartésien ; celui-ci est présent chez al Khayyam, mais on ne trouve jamais chez Descartes l'idée de repérer un point quelconque du plan par des coordonnées. La seule chose qu'on trouve, c'est la construction d'une normale à la tangente d'une courbe. Pour ce qui est du programme cité plus haut, Descartes ne fait que l'esquisser, et ce sera le travail de ses successeurs que de le développer. Ce sont les Bernoulli, Newton, Euler ou Krammer qui vont porter au plus loin le renversement que Descartes avait esquissé par rapport aux mathématiques arabes. Jusqu'alors, on s'intéressait aux courbes pour résoudre des équations ; à partir de là, ce sont les équations qu'on fait intervenir pour étudier les intersections géométriques !
  • Le travail de composition de la géométrie algébrique avec la géométrie projective commence au XVIIe siècle avec les travaux de Desargues, et sera repris début XIXe par Poncelet, Chasles ou Steiner, qui en font un traitement synthétique, sans coordonnées. Christian Houzel étudie un exemple de cette composition dans l'étude par Plucker des bi-tangentes aux quartiques planes, qui l'amène à rapporter l'équation d'une quartique plane à un triangle fondamental. A partir de cette situation et à l'aide des coordonnées, Plucker part à la recherche des autres bi tangentes.
  • Selon C. Houzel, le travail de Riemann sur les intégrales abéliennes en 1857 va révolutionner le paysage de la géométrie algébrique. Le principe, donné par Abel en 1826, de telles équations est le suivant : la somme d'intégrales de f(x,y) dx peut être ramené de nombres fixes p ne dépendant que de l'équation t(x,y) = 0. Riemann étudie systématiquement ces intégrales et a l'idée de les ramener à des surfaces ; pour ce faire, il remplace le plan de la variable copmplexe x par une surface de Riemann composée de n feuillets, qui se ramifient là où les solutions en y se concentrent. Il démontre que les intégrales de fonction algébriques se répartissent en trois espèces : les intégrales régulières sur toute la surface ; celles qui n'ont comme singularités que des pôles ; celles qui ont des singularités logarithmiques.
  • Clebsch, en 1863-1864, applique la théorie de Riemann sur un système fondamental d'intégrales de la première espèce. Il étudie les systèmes de points sur des surfaces de Riemann, et trouve les conditions pour trouver les points à l'intersection de deux courbes algébriques. Il répond également à un problème auparavant étudié par Krammer, Mac Laurin et Hesse, celui des points d'inflexion d'une cubique plane.
  • La pratique de l'analyse diophantienne dans la géométrie algébrique trouve son point de départ dans un mémoire de Poincarté en 190, concernant la recherche des points à coordonnée rationnelle sur une courbe algébrique, ce qui conduit à classer les problèmes diophantiens à l'aide de la géométrie. L'analyse diophantienne a amené, au XXe siècle, au développement d'une géométrie algébrique abstraite. en 1924, Artin étudie les équations diophantiennes modulo un certain nombre premier. Christian Houzel évoque ensuite les travaux de Hasse, de Schmidt et de Serre.
Titre: Introduction à l'histoire de la géométrie algébrique
Sous-titre: Histoires de géométries - année 2004
Auteur(s): HOUZEL, Christian
Durée: 01:54:26
Date de réalisation: 10/04/2004
Genre: Conférence filmée
Langue(s): Français
Christian Houzel retrace, à travers l'étude de certains problèmes particuliers, les grands linéaments de l'histoire de la géométrie algébrique. Bien que cette discipline ne se soit institué comme telle qu'à partir du XIXe siècle, il est intéressant d'en retracer les origines dans les mathématiques arabes médiévales, qui sont ici étudiées de manière conséquente. A partir du XVIIIe siècle, à la suite du programme cartésien de réduction de la géométrie à l'étude des courbes algébriques, un renversement s'opère : ce ne sont plus les courbes qui sont convoquées comme solution d'équations, mais les équations qui sont utilisés pour construire et contrôler des courbes. Au XIXe siècle, avec les travaux de Clebsch et de Riemann, l'étude des courbes algbriques est étendue à celle des surfaces, ce qui donne prise, chez un Dedekind, à une algébrisation complète de la discipline.
Sujet: Sujet
Topique: Géométrie algébrique
Il faut entendre ici la géométrie algébrique au sens large ; même si celle-ci trouve sa définition actuelle seulement au XIXe siècle, il s'agit d'aller chercher ses origines à partir du Moyen-Âge arabe.
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Rôle: Producteurs d'oeuvres audiovisuelles
Adresse: FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France
ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche), FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France
HOUZEL, Christian. "Introduction à l'histoire de la géométrie algébrique", séminaire Histoires de Géométries (F2DS), [en ligne] : http://www.archivesaudiovisuelles.fr/FR/_video.asp?format=68&id=202&ress=1092&video=90924
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Titre: Analyse de l'intervention de Christian Houzel au séminaire Histoires de Géométries, année 2004
Langue(s): Français
Type: Analyse plus détaillé
Comment citer: © POTTIN, Ange. « Analyse de l'intervention de Christian Houzel au séminaire Histoires de Géométries, année 2004 » (AHG 2014), URL Vidéo: http://www.archivesaudiovisuelles.fr/FR/_video.asp?format=68&id=202&ress=1092&video=90924
Id analyse: 4e14a0d5-2331-41e2-ae93-41d728e9b3c2
Id vidéo: fe059b2c-0d25-40df-9a41-8598ec6dc938
Analyse de l'intervention de Christian Houzel sur l'histoire de la géométrie algébrique au séminaire Histoires de Géométries, année 2004.