De la conjecture de Poincaré à l'espace chiffonné. LOMBARD, Philippe

Chapitre

Titre: Voir en trois dimensions : perspective et projection stéréographique
Durée: 00:11:09   [00:00:00 > 00:11:09]
Avant de savoir comment représenter des objets en dimension quatre, il faut commencer par se demander par quels procédés représenter des objets en dimension 3. On a démontré depuis l'Antiquité qu'il n'existait que 5 polyèdres réguliers en dimension 3. Pour les représenter, on peut appliquer deux types de gymnastique. Premièrement, on peut appliquer le principe de la perspective, qui consiste à projeter sur une vitre l'image de l'objet. Deuxièmement, on peut appliquer le principe de la projection stéréographique, qui consiste en la projection d'une surface sur un plan horizontal situé en dessous de l'objet. Cette représentation déforme, et fait du pôle nord un point à l'infini, sans image dans la projection. Philippe Lombard applique ce type de projection au dodécaèdre.
Sujet: Sujet
Topique: Géométrie projective
Titre: Les variétés à deux dimensions
Durée: 00:10:00   [00:11:09 > 00:21:09]
La sphère et le tore sont des variétés à dimension 2, c'est-à-dire constituées d'une seule surface à deux côtés. Entre un tore simple et un tore noué, la différence ne tient pas à la variété elle-même, mais au plongement de cette variété dans l'espace à trois dimensions. On peut également considérer le tore comme une sphère avec des anses soudées à sa surface. Une autre approche de ces figures passe par la fonction de Morse, qui permet d'identifier une fonction à valeur constante sur l'objet, ainsi que des points critiques de la fonction. Poincaré invente une procédure de décomposition valable pour toute surface, procédure que Philippe Lombard présente ici.
Titre: Les surfaces non orientables; le plan projectif
Durée: 00:11:06   [00:21:09 > 00:32:16]
Aux variétés de dimension deux, on peut ajouter les surfaces non orientables comme la bouteille de Klein, impossible à représenter dans l'espace à trois dimensions. La plus simple des surfaces non orientables est le plan projectif, qui s'obtient par collage de la bande de Möbius. Le plan projectif pose des problèmes à la représentation par projection stéréographique. La projection stéréographique nécessite un point à l'infini; or, dans le plan projectif, les parallèles se coupent également en un point à l'infini. Il est alors nécessaire de mettre en place des procédés de découpage et de recollement, que Philippe Lombard détaille dans cette section.
Titre: La représentations des objets en dimension quatre
Durée: 00:06:38   [00:32:16 > 00:38:55]
Si l'on peut penser les objets de dimension trois plongés dans l'espace de dimension quatre, on ne peut pas les voir au sens classique du terme. Dans le cas de la représentation en perspective de l'hypercube, la face avant sera elle-même un cube. Du point de vue stéréographique, l'équivalent du plan sur lequel est projeté l'objet est notre espace de dimension trois, qu'on peut dès lors prolonger dans toutes les directions pour atteindre le point à l'infini.
Titre: Les variétés de dimension trois : la sphère et le tore de dimension trois
Durée: 00:16:04   [00:38:55 > 00:54:59]
L'espace dans lequel nous vivons est la seule variété de dimension trois que nous expérimentons quotidiennement. La première variété de dimension trois considérée ici est la sphère S3, plongée dans l'espace R4 comme la sphère S2 est plongée dans notre espace R3. La sphère S2 s'obtient par un collage entre deux disques mous suivant leur bord. Pour obtenir la sphère S3, il faut recoller deux boules pleines le long de leur surface sphérique. Cela suppose qu'on leur donne une courbure, procédé qui nécessite d'entrer dans R4. Pour le tore en dimension 2, on peut le comprendre comme ayant un complémentaire avec lequel il constitue la sphère. En dimension 3, avec le complémentaire, on obtient la boule de dimension trois. On peut obtenir la sphère S3 en recollant deux tores d'une manière spécifique.
Titre: Les variétés de dimension trois (2) : le plan projectif en dimension trois et la ficelle nouée
Durée: 00:08:26   [00:54:59 > 01:03:25]
Le plan projectif en dimension trois s'obtient avec la demi sphère S3, qui est une boule pleine, dont les points se projettent sur une surface en dimension trois. L'équivalent de ce qui était l'équateur en dimension deux est ici toute la surface de la sphère. On obtient l'espace projectif D3 en recollant tous les points opposés de la boule. Dans l'espace ainsi créé, on trouve un hyperboloïde de révolution, qui se referme pour donner un tore rempli à deux trous. Philippe Lombard passe ensuite au cas du tore noué, dont on ne considère que le complémentaire.
Titre: Homotopie et homologie
Durée: 00:15:05   [01:03:25 > 01:18:30]
Pour comprendre et classifier les variétés de dimension trois, Poincaré invente un bagage algébrique constitué par deux techniques, l'homotopie et l'homologie. L'homotopie consiste à choisir un point et à s'intéresser aux chemins qui en partent et y reviennent, pour ensuite classer ces chemins par déformations possibles. Dans un tore, un chemin qui fait tout le tour ne peut se contracter sur un point. Un tore a donc deux types de chemins générateurs. Un espace dans lequel n'importe quel chemin se contracte sur un point, comme la boule, sera qualifié de simplement connexe. L'homologie consiste à regarder la surface comme une surface polyédrale constituée de facettes, à laquelle on associe un objet algébrique, l'opérateur bord associé à une arète, tel qu'à l'arête AB correspond B - A. L'homologie de l'objet est donnée par la différence entre les cycles et les bords.
Titre: La conjecture de Poincaré
Durée: 00:05:33   [01:18:30 > 01:24:04]
Dans un premier temps, Poincaré démontre que, si une variété de dimension trois est dotée d'une homologie complètement triviale, elle n'est pas une sphère. Il obtient ce résultat par une opération de recollement entre deux tores à deux trous, opération qui créé une variété de dimension trois à deux trous elle aussi. Cette variété est complètement triviale, mais elle n'est pas la sphère. Il pose ensuite la question de savoir si une variété V simplement connexe de dimension trois est homéomorphe à une sphère. C'est là la conjecture de Poincaré.
Titre: L'espace dodécaédrique de Poincaré comme espace chiffonné de l'univers
Durée: 00:11:29   [01:24:04 > 01:35:33]
La démarche de Poincaré l'amène à inventer un espace dodécaédrique dont le groupe fondamental contient le groupe isocaèdre à 120 éléments. Il s'agit d'un polyèdre en dimension quatre, dont les faces sont des dodécaèdres pleins. Il peut s'obtenir par le pavage de la sphère S3 dans R4. Il est l'espace quotient de la sphère par le groupe à 120 éléments. L'astrophysicien Jean-Pierre Luminet propose de prendre comme modèle global pour l'espace-temps compact de l'univers cet espace dodécaédrique de Poincaré.
Sujet: Sujet
Topique: Topologie cosmique
Titre: Questions et discussion
Durée: 00:08:03   [01:35:33 > 01:42:01]

10 chapitres.
  • Avant de savoir comment représenter des objets en dimension quatre, il faut commencer par se demander par quels procédés représenter des objets en dimension 3. On a démontré depuis l'Antiquité qu'il n'existait que 5 polyèdres réguliers en dimension 3. Pour les représenter, on peut appliquer deux types de gymnastique. Premièrement, on peut appliquer le principe de la perspective, qui consiste à projeter sur une vitre l'image de l'objet. Deuxièmement, on peut appliquer le principe de la projection stéréographique, qui consiste en la projection d'une surface sur un plan horizontal situé en dessous de l'objet. Cette représentation déforme, et fait du pôle nord un point à l'infini, sans image dans la projection. Philippe Lombard applique ce type de projection au dodécaèdre.
  • La sphère et le tore sont des variétés à dimension 2, c'est-à-dire constituées d'une seule surface à deux côtés. Entre un tore simple et un tore noué, la différence ne tient pas à la variété elle-même, mais au plongement de cette variété dans l'espace à trois dimensions. On peut également considérer le tore comme une sphère avec des anses soudées à sa surface. Une autre approche de ces figures passe par la fonction de Morse, qui permet d'identifier une fonction à valeur constante sur l'objet, ainsi que des points critiques de la fonction. Poincaré invente une procédure de décomposition valable pour toute surface, procédure que Philippe Lombard présente ici.
  • Aux variétés de dimension deux, on peut ajouter les surfaces non orientables comme la bouteille de Klein, impossible à représenter dans l'espace à trois dimensions. La plus simple des surfaces non orientables est le plan projectif, qui s'obtient par collage de la bande de Möbius. Le plan projectif pose des problèmes à la représentation par projection stéréographique. La projection stéréographique nécessite un point à l'infini; or, dans le plan projectif, les parallèles se coupent également en un point à l'infini. Il est alors nécessaire de mettre en place des procédés de découpage et de recollement, que Philippe Lombard détaille dans cette section.
  • Si l'on peut penser les objets de dimension trois plongés dans l'espace de dimension quatre, on ne peut pas les voir au sens classique du terme. Dans le cas de la représentation en perspective de l'hypercube, la face avant sera elle-même un cube. Du point de vue stéréographique, l'équivalent du plan sur lequel est projeté l'objet est notre espace de dimension trois, qu'on peut dès lors prolonger dans toutes les directions pour atteindre le point à l'infini.
  • L'espace dans lequel nous vivons est la seule variété de dimension trois que nous expérimentons quotidiennement. La première variété de dimension trois considérée ici est la sphère S3, plongée dans l'espace R4 comme la sphère S2 est plongée dans notre espace R3. La sphère S2 s'obtient par un collage entre deux disques mous suivant leur bord. Pour obtenir la sphère S3, il faut recoller deux boules pleines le long de leur surface sphérique. Cela suppose qu'on leur donne une courbure, procédé qui nécessite d'entrer dans R4. Pour le tore en dimension 2, on peut le comprendre comme ayant un complémentaire avec lequel il constitue la sphère. En dimension 3, avec le complémentaire, on obtient la boule de dimension trois. On peut obtenir la sphère S3 en recollant deux tores d'une manière spécifique.
  • Le plan projectif en dimension trois s'obtient avec la demi sphère S3, qui est une boule pleine, dont les points se projettent sur une surface en dimension trois. L'équivalent de ce qui était l'équateur en dimension deux est ici toute la surface de la sphère. On obtient l'espace projectif D3 en recollant tous les points opposés de la boule. Dans l'espace ainsi créé, on trouve un hyperboloïde de révolution, qui se referme pour donner un tore rempli à deux trous. Philippe Lombard passe ensuite au cas du tore noué, dont on ne considère que le complémentaire.
  • Pour comprendre et classifier les variétés de dimension trois, Poincaré invente un bagage algébrique constitué par deux techniques, l'homotopie et l'homologie. L'homotopie consiste à choisir un point et à s'intéresser aux chemins qui en partent et y reviennent, pour ensuite classer ces chemins par déformations possibles. Dans un tore, un chemin qui fait tout le tour ne peut se contracter sur un point. Un tore a donc deux types de chemins générateurs. Un espace dans lequel n'importe quel chemin se contracte sur un point, comme la boule, sera qualifié de simplement connexe. L'homologie consiste à regarder la surface comme une surface polyédrale constituée de facettes, à laquelle on associe un objet algébrique, l'opérateur bord associé à une arète, tel qu'à l'arête AB correspond B - A. L'homologie de l'objet est donnée par la différence entre les cycles et les bords.
  • Dans un premier temps, Poincaré démontre que, si une variété de dimension trois est dotée d'une homologie complètement triviale, elle n'est pas une sphère. Il obtient ce résultat par une opération de recollement entre deux tores à deux trous, opération qui créé une variété de dimension trois à deux trous elle aussi. Cette variété est complètement triviale, mais elle n'est pas la sphère. Il pose ensuite la question de savoir si une variété V simplement connexe de dimension trois est homéomorphe à une sphère. C'est là la conjecture de Poincaré.
  • La démarche de Poincaré l'amène à inventer un espace dodécaédrique dont le groupe fondamental contient le groupe isocaèdre à 120 éléments. Il s'agit d'un polyèdre en dimension quatre, dont les faces sont des dodécaèdres pleins. Il peut s'obtenir par le pavage de la sphère S3 dans R4. Il est l'espace quotient de la sphère par le groupe à 120 éléments. L'astrophysicien Jean-Pierre Luminet propose de prendre comme modèle global pour l'espace-temps compact de l'univers cet espace dodécaédrique de Poincaré.
Titre: De la conjecture de Poincaré à l'espace chiffonné
Sous-titre: Histoires de Géométries - année 2011
Auteur(s): LOMBARD, Philippe
Durée: 01:42:01
Date de réalisation: 20/06/2011
Lieu de réalisation: Fondation Maison des Sciences de l'Homme, 190-198 avenue de France, 75013 Paris, France
Genre: Conférence filmée
Langue(s): Français
Dans cette vidéo, Philippe Lombard pose le problème de la représentation des espaces de dimension trois dans un espace à quatre dimensions. Il commence par présenter les procédés de perspective et de projection stéréographique qui permettent de représenter des variétés de dimension deux plongés dans notre espace à trois dimensions. Pour la représentation des variétés de dimension trois, il est nécessaire de faire appel à des procédures de collage; c'est toute une gymnastique topologique que Philippe Lombard développe ici. Il expose ensuite les procédés algébriques mis en place par Poincaré pour comprendre et classer ces variétés de dimension trois : l'homotopie et l'homologie. Enfin, il montre comment ces résultats aboutissent à l'énoncé de la conjecture de Poincaré, et à l'hypothèse de Jean-Pierre Luminet selon laquelle notre univers a pour forme l'espace dodécaédrique de Poincaré.
Sujet: Sujet
Topique: Géométrie projective
Utilisation des procédés de perspective et de stéréographie dans la représentation d'espaces en trois et en quatre dimensions
Sujet: Sujet
Topique: L’espace, entre physique, mathématiques et philosophie
Comment voir en quatre dimensions ? Comment voir les figures de dimension trois ?
Sujet: Personnalité
Topique: Poincaré, Henri
Sujet: Sujet
Topique: Topologie
La classification des espaces à trois dimensions et la conjecture de Poincaré
Nom: ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche)
Rôle: Producteurs d'oeuvres audiovisuelles
Adresse: FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France
ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche), FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France
Nom: Lombard
Prénom: Philippe
Rôle: Historiens des sciences
Appartenance: CNRS
Adresse: Université Nancy 1, France
Philippe Lombard, Université Nancy 1, France
Type: Exposé(s) scientifique(s)
Exposé technique à portée philosophique centré sur le problème de la représentations d'objets géométriques à quatre dimensions.
Type: Education scientifique
Public cible: Pour tout public
Pour toute personne intéressée par les problématiques posées par la représentations des objets mathématiques
LOMBARD, Philippe. "De la conjecture de Poincaré à l'espace chiffonné", séminaire Histoires de Géométries, année 2011.
Type: Droit d'auteur relatif au contenu du document source
Cette ressource audiovisuelle est protégée par le régime "Creative Commons". Vous êtes libres de la reproduire, distribuer et communiquer au public. Mais vous devez impérativement signaler la paternité de(s) ayant-droit(s) du contenu du média: Philippe Lombard, Université Nancy 1, France. Vous n'avez pas le droit de la modifier ni d'en faire un usage commercial. Lecture, diffusion et exploitation concrète de cette ressource audiovisuelle présuppose que vous ayez accepté les règles juridiques Creative Commons décrites dans la page http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.
Type: Droit d'auteur relatif à la production du document source
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Titre: Analyse de la conférence "De la conjecture de Poincaré à l'espace chiffonné" de Pierre Lombard, séminaire Histoires de Géométries année 2011
Langue(s): Français
Type: Analyse plus détaillé
Comment citer: Ange Pottin, Analyse de la conférence de Philippe Lombard "De la conjecture de Poincaré à l'espace chiffonné", séminaire Histoires de Géométries année 2011, AHM 2014.
Id analyse: 6b9cabad-70cb-48f6-b530-ea92a21d7281
Id vidéo: e8e06a09-b0d2-4a0e-be2d-fe1cb7682077