Pour comprendre et classifier les variétés de dimension trois, Poincaré invente un bagage algébrique constitué par deux techniques, l'homotopie et l'homologie. L'homotopie consiste à choisir un point et à s'intéresser aux chemins qui en partent et y reviennent, pour ensuite classer ces chemins par déformations possibles. Dans un tore, un chemin qui fait tout le tour ne peut se contracter sur un point. Un tore a donc deux types de chemins générateurs. Un espace dans lequel n'importe quel chemin se contracte sur un point, comme la boule, sera qualifié de simplement connexe.
L'homologie consiste à regarder la surface comme une surface polyédrale constituée de facettes, à laquelle on associe un objet algébrique, l'opérateur bord associé à une arète, tel qu'à l'arête AB correspond B - A. L'homologie de l'objet est donnée par la différence entre les cycles et les bords. |