Avant de savoir comment représenter des objets en dimension quatre, il faut commencer par se demander par quels procédés représenter des objets en dimension 3. On a démontré depuis l'Antiquité qu'il n'existait que 5 polyèdres réguliers en dimension 3. Pour les représenter, on peut appliquer deux types de gymnastique. Premièrement, on peut appliquer le principe de la perspective, qui consiste à projeter sur une vitre l'image de l'objet. Deuxièmement, on peut appliquer le principe de la projection stéréographique, qui consiste en la projection d'une surface sur un plan horizontal situé en dessous de l'objet. Cette représentation déforme, et fait du pôle nord un point à l'infini, sans image dans la projection. Philippe Lombard applique ce type de projection au dodécaèdre.

La sphère et le tore sont des variétés à dimension 2, c'est-à-dire constituées d'une seule surface à deux côtés. Entre un tore simple et un tore noué, la différence ne tient pas à la variété elle-même, mais au plongement de cette variété dans l'espace à trois dimensions. On peut également considérer le tore comme une sphère avec des anses soudées à sa surface. Une autre approche de ces figures passe par la fonction de Morse, qui permet d'identifier une fonction à valeur constante sur l'objet, ainsi que des points critiques de la fonction. Poincaré invente une procédure de décomposition valable pour toute surface, procédure que Philippe Lombard présente ici.

Aux variétés de dimension deux, on peut ajouter les surfaces non orientables comme la bouteille de Klein, impossible à représenter dans l'espace à trois dimensions. La plus simple des surfaces non orientables est le plan projectif, qui s'obtient par collage de la bande de Möbius. Le plan projectif pose des problèmes à la représentation par projection stéréographique. La projection stéréographique nécessite un point à l'infini; or, dans le plan projectif, les parallèles se coupent également en un point à l'infini. Il est alors nécessaire de mettre en place des procédés de découpage et de recollement, que Philippe Lombard détaille dans cette section.

Si l'on peut penser les objets de dimension trois plongés dans l'espace de dimension quatre, on ne peut pas les voir au sens classique du terme. Dans le cas de la représentation en perspective de l'hypercube, la face avant sera elle-même un cube. Du point de vue stéréographique, l'équivalent du plan sur lequel est projeté l'objet est notre espace de dimension trois, qu'on peut dès lors prolonger dans toutes les directions pour atteindre le point à l'infini.

L'espace dans lequel nous vivons est la seule variété de dimension trois que nous expérimentons quotidiennement. La première variété de dimension trois considérée ici est la sphère S3, plongée dans l'espace R4 comme la sphère S2 est plongée dans notre espace R3. La sphère S2 s'obtient par un collage entre deux disques mous suivant leur bord. Pour obtenir la sphère S3, il faut recoller deux boules pleines le long de leur surface sphérique. Cela suppose qu'on leur donne une courbure, procédé qui nécessite d'entrer dans R4. Pour le tore en dimension 2, on peut le comprendre comme ayant un complémentaire avec lequel il constitue la sphère. En dimension 3, avec le complémentaire, on obtient la boule de dimension trois. On peut obtenir la sphère S3 en recollant deux tores d'une manière spécifique.

Le plan projectif en dimension trois s'obtient avec la demi sphère S3, qui est une boule pleine, dont les points se projettent sur une surface en dimension trois. L'équivalent de ce qui était l'équateur en dimension deux est ici toute la surface de la sphère. On obtient l'espace projectif D3 en recollant tous les points opposés de la boule. Dans l'espace ainsi créé, on trouve un hyperboloïde de révolution, qui se referme pour donner un tore rempli à deux trous. Philippe Lombard passe ensuite au cas du tore noué, dont on ne considère que le complémentaire.

Pour comprendre et classifier les variétés de dimension trois, Poincaré invente un bagage algébrique constitué par deux techniques, l'homotopie et l'homologie. L'homotopie consiste à choisir un point et à s'intéresser aux chemins qui en partent et y reviennent, pour ensuite classer ces chemins par déformations possibles. Dans un tore, un chemin qui fait tout le tour ne peut se contracter sur un point. Un tore a donc deux types de chemins générateurs. Un espace dans lequel n'importe quel chemin se contracte sur un point, comme la boule, sera qualifié de simplement connexe. L'homologie consiste à regarder la surface comme une surface polyédrale constituée de facettes, à laquelle on associe un objet algébrique, l'opérateur bord associé à une arète, tel qu'à l'arête AB correspond B - A. L'homologie de l'objet est donnée par la différence entre les cycles et les bords.

Dans un premier temps, Poincaré démontre que, si une variété de dimension trois est dotée d'une homologie complètement triviale, elle n'est pas une sphère. Il obtient ce résultat par une opération de recollement entre deux tores à deux trous, opération qui créé une variété de dimension trois à deux trous elle aussi. Cette variété est complètement triviale, mais elle n'est pas la sphère. Il pose ensuite la question de savoir si une variété V simplement connexe de dimension trois est homéomorphe à une sphère. C'est là la conjecture de Poincaré.

La démarche de Poincaré l'amène à inventer un espace dodécaédrique dont le groupe fondamental contient le groupe isocaèdre à 120 éléments. Il s'agit d'un polyèdre en dimension quatre, dont les faces sont des dodécaèdres pleins. Il peut s'obtenir par le pavage de la sphère S3 dans R4. Il est l'espace quotient de la sphère par le groupe à 120 éléments. L'astrophysicien Jean-Pierre Luminet propose de prendre comme modèle global pour l'espace-temps compact de l'univers cet espace dodécaédrique de Poincaré.