La géométrie des nombres. SOULE, Christophe

Chapitre

Titre: L'inclusion des entiers dans les réels : le livre V des Eléments d'Euclide
Durée: 00:07:33   [00:00:00 > 00:07:33]
L'idée première de la géométrie des nombres consiste à considérer les nombres entiers comme contenus dans les nombres réels. Comment cette idée, qui nous apparaît aujourd'hui banale, est apparue ? Selon C. Soulé, on peut en trouver les premières traces dans les Définitions du livre V des Eléments d'Euclide, qui exposent les propriétés fondamentales des entiers positifs. On y trouve notamment l'assertion que "une grandeur est partie d'une grandeur, la plus petite de la plus grande, quand la plus petite mesure la plus grande".
Sujet: Personnalité
Topique: Euclide
Titre: Le livre VII et le livre V : arithmétique et proportions
Durée: 00:02:47   [00:07:33 > 00:10:21]
La première définition du livre V des Eléments résonne fortement avec la troisième définition du livre VII, selon laquelle "un nombre est une partie d'un nombre, le plus petit du plus grand, lorsque le plus petit mesure le plus grand". Il semble qu'Euclide fasse ici de la théorie du nombre une application particulière de la théorie plus générale des proportions. On voit apparaître alors une idée fondamentale de la théorie des nombres.
Sujet: Personnalité
Topique: Euclide
Titre: Le théorème d'Al-Khujandî
Durée: 00:02:28   [00:10:21 > 00:12:50]
Les mathématiciens arabes médiévaux ont repris et travaillé les idées d'Euclide. Ainsi, au dixième siècle, al-Khujandî annonce avoir démontré qu'un cube n'est jamais la somme de deux cubes. Sa démonstration fait intervenir une figure géométrique, bien que celle-ci ne serve que de support à une assertion algébrique générale.
Titre: La colère de Fermat
Durée: 00:02:32   [00:12:50 > 00:15:23]
Au XVIIe siècle, Fermat déplore que les mathématiques de son temps, centrées sur l'étude des nombres rationnels et de la quantité continue, ne fasse pas de place propre à l'arithmétique. En distinguant de ces domaines celui qui ne se préoccupe que des nombres entiers et des grandeurs discrètes, il fonde d'une certaine manière le domaine de la théorie des nombres.
Sujet: Personnalité
Topique: Fermat, Pierre de
Type: Livre
Auteur: Pierre Fermat
Titre: Le théorème fondateur de Minkowski...
Durée: 00:02:57   [00:15:23 > 00:18:21]
On doit l'expression "géométrie des nombres" à Minkowski. Celui a énoncé en 1896 le théorème central de la discipline : il existe une constante C(n) telle que, si le volume obtenu par le quotient d'un espace vectoriel fini sur un sous-groupe discret est inférieur à C(n), le réseau lambda contient un vecteur non nul dont la norme est inférieure à un.
Sujet: Personnalité
Topique: Minkowski, Hermann
Titre: ... et ses applications
Durée: 00:04:06   [00:18:21 > 00:22:27]
Le théorème central de Minkowski a un nombre considérable de conséquences arithmétiques. Il permet notamment de montrer que l'anneau des entiers d'un corps de nombres n'a qu'un nombre fini de classes d'idéaux et que le groupe de ses éléments inversibles est de type fini. Minkowski remarque également que la propriété essentielle de la boule unité qui permet de prouver son théorème est qu'elle est convexe.
Titre: Hilbert et le théorème de Minkowski
Durée: 00:02:40   [00:22:27 > 00:25:08]
Hilbert tenait en très haute estime l'ouvrage de Minkowski. Dans sa présentation des "problèmes futurs aux mathématiques", il la porte en modèle d'une théorie arithmétique rigoureuse, opérant avec les concepts et les symboles de la géométrie. Elle permet à la géométrie d'accéder au même degré de rigueur que l'arithmétique, car elle en explicite les axiomes.
Sujet: Personnalité
Topique: Hilbert, David
Type: Livre
Auteur: D. Hilbert
Titre: Le théorème de Mordell-Weil
Durée: 00:04:05   [00:25:08 > 00:29:13]
La géométrie des nombres conduit également au théorème de Mordell-Weil, qui établir la chose suivante : si A est une variété abélienne sur un corps de nombres F, le groupe de ses points gamma = A(F) est de type fini. On utilise également pour démontrer cela le théorème d'Hermite, selon lequel il n'y a qu'un nombre fini de corps de nombres et de degrés de discriminants fixés.
Titre: Arakelov et la synthèse entre réseaux euclidiens et schémas
Durée: 00:05:19   [00:29:13 > 00:34:32]
L'idée fondamentale d'Arakelov est que la géométrie des nombres est une géométrie algébrique, ce qu'il cherche à établir de deux manières. La première consiste en une synthèse de la théorie des réseaux euclidiens et de celle des schémas de Grothendieck. En suivant cette voie, la géométrie d'Arakelov permet également de calculer le covolume d'un espace vectoriel obtenu par le produit tensoriel du groupe des sections globales et des nombres réels.
Sujet: Personnalité
Topique: Arakelov, Suren
Titre: Arakelov et la formulation de la géométrie des nombres dans les termes de la géométrie algébrique
Durée: 00:04:49   [00:34:32 > 00:39:22]
Pour établir la synthèse entre géométrie des nombres et géométrie algébrique, Arakelov emprunte également une deuxième voie, qui part du constat que les énoncés de la géométrie des nombres peuvent être exprimés en des termes très voisins de ceux de la géométrie algébrique.
Sujet: Personnalité
Topique: Arakelov, Suren
Titre: La différence entre la théorie algébrique et la théorie des nombres
Durée: 00:01:34   [00:39:22 > 00:40:57]
Arakelov arrive bien à établir la ressemblance entre les énoncés de la géométrie algébrique et ceux de la géométrie des nombres sur certains points. Néanmoins, il reste des différences, qui tiennent selon C. Soulé à la nature qualitative de la géométrie des nombres, qui ne permet pas d'établir le rang d'un groupe de points.
Titre: Les origines de la différence dans deux zones du cerveau ?
Durée: 00:05:28   [00:40:57 > 00:46:26]
C. Soulé propose pour finir une explication de nature neurobiologique de cette différence entre arithmétique géométrique qualitative et arithmétique algébrique exacte, s'appuyant sur un article de S. Dehaene. Ces études distinguent une région pariétale et bilatérale où s'effectuerait la comparaison des nombres entiers et leur addition approximative, et une région frontale gauche où se feraient les calculs exacts. Ce résultat a été établi par une voie expérimentale sur un groupe d'étudiants russes aux Etats-Unis, auxquels on pose des problèmes d'arithmétique, tantôt en russe, tantôt en anglais.
Titre: Les résultats de l'expérience
Durée: 00:03:28   [00:46:26 > 00:48:35]
Les résultats de l'expérience sont les suivants : on constate que le choix de la langue affecte l'addition exacte mais pas l'addition approximative. Ceci conforte l'idée que l'addition exacte fait intervenir la zone de la représentation verbale, mais pas l'addition approximative.
Sujet: Sujet
Topique: Approches interdisciplinaires en géométrie
Approche neurobiologique de la géométrie des nombres.

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  • L'idée première de la géométrie des nombres consiste à considérer les nombres entiers comme contenus dans les nombres réels. Comment cette idée, qui nous apparaît aujourd'hui banale, est apparue ? Selon C. Soulé, on peut en trouver les premières traces dans les Définitions du livre V des Eléments d'Euclide, qui exposent les propriétés fondamentales des entiers positifs. On y trouve notamment l'assertion que "une grandeur est partie d'une grandeur, la plus petite de la plus grande, quand la plus petite mesure la plus grande".
  • La première définition du livre V des Eléments résonne fortement avec la troisième définition du livre VII, selon laquelle "un nombre est une partie d'un nombre, le plus petit du plus grand, lorsque le plus petit mesure le plus grand". Il semble qu'Euclide fasse ici de la théorie du nombre une application particulière de la théorie plus générale des proportions. On voit apparaître alors une idée fondamentale de la théorie des nombres.
  • Les mathématiciens arabes médiévaux ont repris et travaillé les idées d'Euclide. Ainsi, au dixième siècle, al-Khujandî annonce avoir démontré qu'un cube n'est jamais la somme de deux cubes. Sa démonstration fait intervenir une figure géométrique, bien que celle-ci ne serve que de support à une assertion algébrique générale.
  • Au XVIIe siècle, Fermat déplore que les mathématiques de son temps, centrées sur l'étude des nombres rationnels et de la quantité continue, ne fasse pas de place propre à l'arithmétique. En distinguant de ces domaines celui qui ne se préoccupe que des nombres entiers et des grandeurs discrètes, il fonde d'une certaine manière le domaine de la théorie des nombres.
  • On doit l'expression "géométrie des nombres" à Minkowski. Celui a énoncé en 1896 le théorème central de la discipline : il existe une constante C(n) telle que, si le volume obtenu par le quotient d'un espace vectoriel fini sur un sous-groupe discret est inférieur à C(n), le réseau lambda contient un vecteur non nul dont la norme est inférieure à un.
  • Le théorème central de Minkowski a un nombre considérable de conséquences arithmétiques. Il permet notamment de montrer que l'anneau des entiers d'un corps de nombres n'a qu'un nombre fini de classes d'idéaux et que le groupe de ses éléments inversibles est de type fini. Minkowski remarque également que la propriété essentielle de la boule unité qui permet de prouver son théorème est qu'elle est convexe.
  • Hilbert tenait en très haute estime l'ouvrage de Minkowski. Dans sa présentation des "problèmes futurs aux mathématiques", il la porte en modèle d'une théorie arithmétique rigoureuse, opérant avec les concepts et les symboles de la géométrie. Elle permet à la géométrie d'accéder au même degré de rigueur que l'arithmétique, car elle en explicite les axiomes.
  • La géométrie des nombres conduit également au théorème de Mordell-Weil, qui établir la chose suivante : si A est une variété abélienne sur un corps de nombres F, le groupe de ses points gamma = A(F) est de type fini. On utilise également pour démontrer cela le théorème d'Hermite, selon lequel il n'y a qu'un nombre fini de corps de nombres et de degrés de discriminants fixés.
  • L'idée fondamentale d'Arakelov est que la géométrie des nombres est une géométrie algébrique, ce qu'il cherche à établir de deux manières. La première consiste en une synthèse de la théorie des réseaux euclidiens et de celle des schémas de Grothendieck. En suivant cette voie, la géométrie d'Arakelov permet également de calculer le covolume d'un espace vectoriel obtenu par le produit tensoriel du groupe des sections globales et des nombres réels.
  • Pour établir la synthèse entre géométrie des nombres et géométrie algébrique, Arakelov emprunte également une deuxième voie, qui part du constat que les énoncés de la géométrie des nombres peuvent être exprimés en des termes très voisins de ceux de la géométrie algébrique.
  • Arakelov arrive bien à établir la ressemblance entre les énoncés de la géométrie algébrique et ceux de la géométrie des nombres sur certains points. Néanmoins, il reste des différences, qui tiennent selon C. Soulé à la nature qualitative de la géométrie des nombres, qui ne permet pas d'établir le rang d'un groupe de points.
  • C. Soulé propose pour finir une explication de nature neurobiologique de cette différence entre arithmétique géométrique qualitative et arithmétique algébrique exacte, s'appuyant sur un article de S. Dehaene. Ces études distinguent une région pariétale et bilatérale où s'effectuerait la comparaison des nombres entiers et leur addition approximative, et une région frontale gauche où se feraient les calculs exacts. Ce résultat a été établi par une voie expérimentale sur un groupe d'étudiants russes aux Etats-Unis, auxquels on pose des problèmes d'arithmétique, tantôt en russe, tantôt en anglais.
  • Les résultats de l'expérience sont les suivants : on constate que le choix de la langue affecte l'addition exacte mais pas l'addition approximative. Ceci conforte l'idée que l'addition exacte fait intervenir la zone de la représentation verbale, mais pas l'addition approximative.
Titre: La géométrie des nombres
Sous-titre: La géométrie des nombres
Auteur(s): SOULE, Christophe
Durée: 00:48:35
Date de réalisation: 28/09/2001
Lieu de réalisation: Institut Henri Poincaré 11, rue Pierre et Marie Curie, 75231 Paris Cedex 05, France
Christophe Soulé dresse à grands traits l'histoire de la géométrie des nombres, de ses origines loitaines chez Euclide à la tentative de synthèse d'Arakelov avec la géométrie algébrique, en passant par l'établissement du théorème central de la discipline par Minkowski. Pour finir, il propose une interprétation neurobiologique de la différence irréductible entre la géométrie des nombres, de dimension qualitative, et la géométrie algébrique exacte.
Sujet: Personnalité
Topique: Minkowski, Hermann
C. Soulé s'intéresse ici à l'oeuvre de Minkowski en tant que fondateur de la géométrie des nombres ; ce dernier étant avant tout connu pour sa formalisation de l'espace en quatre dimensions de la relativité restreinte.
Type: Livre
Auteur: M. Minkowski
M. Minkowski, Geometrie der Zahlen
Type: Niveau Master
Public cible: Pour tout public
Pour tout étudiant intéressé par la théorie des nombres et la géométrie.
SOULE, Christophe. "La géométrie des nombres", Géométrie au XXe siècle, 2001 [en ligne] URL : http://semioweb.msh-paris.fr/mathopales/geoconf2000/videotheque2.asp?cotevideo=33&fichiervideo=Soule
Type: Droit d'auteur relatif à la production du document source
Le producteur de cette ressource audiovisuelle (enregistrement audiovisuel) est ESCoM - MSH (Paris, le 28 septembre 2001).
Type: Droit d'auteur relatif au contenu du document source
L'auteur de cette ressource audiovisuelle (enregistrement audiovisuel) est ESCoM - MSH (Paris, le 28 septembre 2001).
Type: Régime général "Creative Commons" relatifs au document source
Cette ressource audiovisuelle est protégée par le régime "Creative Commons". Vous êtes libres de la reproduire, distribuer et communiquer au public. Mais vous devez impérativement signaler sa paternité (son ou ses auteurs), vous n'avez pas le droit de la modifier ni d'en faire un usage commercial. Lecture, diffusion et exploitation concrète de cette ressource audiovisuelle présuppose que vous ayez accepté les règles juridiques Creative Commons décrites dans la page http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/
Titre: Analyse de l'intervention de Christophe Soulé
Langue(s): Français
Type: Analyse plus détaillé
Comment citer: © POTTIN, Ange. « Analyse de l'nitervention de Christophe Soulé» (AHM 2014), URL Vidéo: http://semioweb.msh-paris.fr/mathopales/geoconf2000/videotheque2.asp?cotevideo=33&fichiervideo=Soule
Id analyse: 718496aa-1766-42fd-ba8b-ffea53d73b94
Id vidéo: 5e9eabd9-ef58-4083-a9fe-cb0783dee0f2
Analyse de l'intervention de Christophe Soulé sur la géométrie des nombres.