Comment produire des espaces ? . VOLKERT, Klaus

Chapitre

Titre: Introduction
Durée: 00:07:15   [00:00:00 > 00:07:15]
La question "comment produire des espaces" à partir du moment où, avec la géométrie non euclidienne, on passe de l'idée qu'il n'existe qu'un seul espace donné, à la prise de conscience de réaliser différents types d'espace. Ce problème se pose d'abord dans le cadre de la géométrie différentielle et de l'étude des variétés à courbure constante ; il fera ensuite intervenir la géométrie des transformations, et la topologie.
Titre: La surface de Clifford
Durée: 00:07:58   [00:07:15 > 00:15:13]
Dans une conférence donnée en 1873, Clifford envisage le cas d'une variété bi-dimensionnelle dans l'espace elliptique, et démontre que cette surface est localement plate. En d'autres termes, sur cette surface, la géométrie est localement la même que dans le plan euclidien.
Titre: Killing et Helmholtz
Durée: 00:08:35   [00:15:13 > 00:23:49]
Killing est très influencé par l'analyse, notamment telle qu'elle fut développée par Weierstrass à Berlin. Il appliquera les méthodes analytiques en géométrie, notamment dans le cadre de l'étude de surfaces localement plates dans l'espace à quatre dimensions. Helmholtz, quant à lui, développera l'idée de transformation. Les deux auteurs partagent une épistémologie empiriste de la géométrie ; les transformations nous sont données par l'expérience.
Titre: Le programme topologique de Klein
Durée: 00:04:47   [00:23:49 > 00:28:37]
De la surface de Clifford, Klein tirera l'idée qu'il peut y avoir une différence entre l'expérience locale d'une surface plane et la compréhension globale de l'espace. La question du lien entre les deux nous fait entrer dans le domaine de la topologie : comprendre la topologie d'un espace à courbure constante, c'est établir toutes ses connexions possibles.
Sujet: Personnalité
Topique: Klein, Felix
Sujet: Sujet
Topique: Topologie
La compréhension globale de la notion d'espace requiert la topologie
Titre: L'approche de Killing et le lien entre espaces et groupes
Durée: 00:13:37   [00:28:37 > 00:42:14]
Pour traiter le problème proposé par Klein, Killing propose la méthode suivante : il s'agit tout d'abord de chercher les variétés localement isométriques à un espace classique à courbure constante ; puis, de produire les sous-groupes du groupe d'isométries, tels que ces sous-groupes soient continus et sans point fixe. On peut alors former un quotient du groupe d'isométrie et du sous-groupe, par lequel on obtient la forme d'espace localement isométrique à une géométrie classique. Cette idée de lien entre formes d'espace et groupes est selon Klaus Volkert introduite par Killing, et non par Klein. Ce point de vue est dominant au début du XXe siècle, comme on peut le voir dans un article de Enriques.
Titre: Les outils mis en place par Hermann Weyl.
Durée: 00:09:49   [00:42:14 > 00:52:03]
Dans un article de 1916, Hermann Weyl étudie les géodésiques closes sur un tore. Il en vient à étudier les formes euclidiennes, et découvre que l'application de la méthode des isométries locales à l'espace euclidien produit des cristaux. Selon lui, tout cristal est le résultat d'une isométrie locale à l'espace euclidien. Il utilise ensuite l'outil topologique du revêtement pour étudier le groupe qui opère sur ces cristaux.
Sujet: Personnalité
Topique: Weyl, Hermann
Titre: Heinz Hopf : la liste des formes bi-dimensionnelles et le travail sur les formes tri-dimensionnelles
Durée: 00:10:16   [00:52:03 > 01:02:19]
En 1925, Heinz Hopf reprend le résultat de Weyl, et donne la liste complète des espaces bi-dimensionnels, dans laquelle il inclut aussi les surfaces non orientables comme la bouteille de Klein et la bande de Möbius infinie. Il tient également compte des formes d'espace tri-dimensionnelles. Il démontre que les sous-groupes d'isométries de ces formes tridimensionnelles sont les polytopes réguliers.
Sujet: Personnalité
Topique: Hopf, Heinz
Contribution à la géométrie différentielle
Titre: Conclusion
Durée: 00:04:00   [01:02:19 > 01:06:20]
Les outils décrits dans cette conférence sont ceux qui permettent de passer d'un espace donné à un espace produit selon des procédures contrôlées. Un problème sous-jacent à ces questionnements sur l'espace est celui de l'expérience : si nous expérimentons localement un espace euclidien, rien ne nous dit qu'il l'est globalement. C'est notamment un problème étudié en cosmologie par des physiciens comme Jean-Pierre Luminet.
Titre: Questions et discussion
Durée: 00:16:02   [01:06:20 > 01:22:16]

9 chapitres.
  • La question "comment produire des espaces" à partir du moment où, avec la géométrie non euclidienne, on passe de l'idée qu'il n'existe qu'un seul espace donné, à la prise de conscience de réaliser différents types d'espace. Ce problème se pose d'abord dans le cadre de la géométrie différentielle et de l'étude des variétés à courbure constante ; il fera ensuite intervenir la géométrie des transformations, et la topologie.
  • Dans une conférence donnée en 1873, Clifford envisage le cas d'une variété bi-dimensionnelle dans l'espace elliptique, et démontre que cette surface est localement plate. En d'autres termes, sur cette surface, la géométrie est localement la même que dans le plan euclidien.
  • Killing est très influencé par l'analyse, notamment telle qu'elle fut développée par Weierstrass à Berlin. Il appliquera les méthodes analytiques en géométrie, notamment dans le cadre de l'étude de surfaces localement plates dans l'espace à quatre dimensions. Helmholtz, quant à lui, développera l'idée de transformation. Les deux auteurs partagent une épistémologie empiriste de la géométrie ; les transformations nous sont données par l'expérience.
  • De la surface de Clifford, Klein tirera l'idée qu'il peut y avoir une différence entre l'expérience locale d'une surface plane et la compréhension globale de l'espace. La question du lien entre les deux nous fait entrer dans le domaine de la topologie : comprendre la topologie d'un espace à courbure constante, c'est établir toutes ses connexions possibles.
  • Pour traiter le problème proposé par Klein, Killing propose la méthode suivante : il s'agit tout d'abord de chercher les variétés localement isométriques à un espace classique à courbure constante ; puis, de produire les sous-groupes du groupe d'isométries, tels que ces sous-groupes soient continus et sans point fixe. On peut alors former un quotient du groupe d'isométrie et du sous-groupe, par lequel on obtient la forme d'espace localement isométrique à une géométrie classique. Cette idée de lien entre formes d'espace et groupes est selon Klaus Volkert introduite par Killing, et non par Klein. Ce point de vue est dominant au début du XXe siècle, comme on peut le voir dans un article de Enriques.
  • Dans un article de 1916, Hermann Weyl étudie les géodésiques closes sur un tore. Il en vient à étudier les formes euclidiennes, et découvre que l'application de la méthode des isométries locales à l'espace euclidien produit des cristaux. Selon lui, tout cristal est le résultat d'une isométrie locale à l'espace euclidien. Il utilise ensuite l'outil topologique du revêtement pour étudier le groupe qui opère sur ces cristaux.
  • En 1925, Heinz Hopf reprend le résultat de Weyl, et donne la liste complète des espaces bi-dimensionnels, dans laquelle il inclut aussi les surfaces non orientables comme la bouteille de Klein et la bande de Möbius infinie. Il tient également compte des formes d'espace tri-dimensionnelles. Il démontre que les sous-groupes d'isométries de ces formes tridimensionnelles sont les polytopes réguliers.
  • Les outils décrits dans cette conférence sont ceux qui permettent de passer d'un espace donné à un espace produit selon des procédures contrôlées. Un problème sous-jacent à ces questionnements sur l'espace est celui de l'expérience : si nous expérimentons localement un espace euclidien, rien ne nous dit qu'il l'est globalement. C'est notamment un problème étudié en cosmologie par des physiciens comme Jean-Pierre Luminet.
Titre: Comment produire des espaces ?
Sous-titre: Histoires de Géométries – Année 2011
Auteur(s): VOLKERT, Klaus
Date de réalisation: 07/03/2011
Lieu de réalisation: Fondation Maison des Sciences de l'Homme, 190-198 avenue de France, 75013 Paris, France
Genre: Conférence filmée
Comment passe-t-on de l'idée d'un espace universellement donné à celle d'espaces produits selon des procédures mathématiques ? Klaus Volkert retrace cette idée à travers les travaux de mathématiciens de la fin du XIXe siècle et du début du XXe siècle. Clifford démontre en 1873 l'existence d'espaces qui ne sont conformes que localement à la géométrie euclidienne. Klein pose la question topologique du lien entre cette dimension locale et la compréhension globale de l'espace. Killing propose une méthode pour étudier ces types d'espaces, qui consiste à étudier l'isométrie locale à l'espace euclidien afin de construire les sous-groupes du groupe d'isométries. Weyl démontre que cette méthode produit des cristaux, et utilise pour les étudier la notion de revêtement topologique. Enfin, Hopf étend ces considérations aux espaces tridimensionnels.
Sujet: Personnalité
Topique: Clifford, William Kingdon
Personnalité: Hopf, Heinz
Personnalité: Klein, Felix
Sujet: Sujet
Topique: Géométrie différentielle
Comment l'idée qu'il existe différents types de variétés, plutôt qu'un seul espace, est venue en géométrie différentielle ?
Nom: ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche)
Rôle: Producteurs d'oeuvres audiovisuelles
Adresse: FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France
ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche), FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France
Nom: Volkert
Prénom: Klaus
Rôle: Historiens des sciences
Appartenance: Institutions en Allemagne
Adresse: Professeur et Docteur en Mathématiques, Université de Cologne, Allemagne
Klaus Volkert, Professeur et Docteur en Mathématiques, Université de Cologne, Allemagne
Type: Exposé(s) scientifique(s)
Exposé des débuts de la géométrie différentielle et de la découverte des formes d'espace différentes de l'espace euclidien.
Type: Education formelle
Public cible: Pour tout public
Pour toute personne intéressée par les problématiques de la géométrie contemporaine : comment classifier les différentes formes d'espaces ? Comment les comprendre et les contrôler ?
VOLKERT, Klaus. "Comment produire des espaces ?", séminaire Histoires de Géométries année 2011.
Type: Droit d'auteur relatif au contenu du document source
Cette ressource audiovisuelle est protégée par le régime "Creative Commons". Vous êtes libres de la reproduire, distribuer et communiquer au public. Mais vous devez impérativement signaler la paternité de(s) ayant-droit(s) du contenu du média: Klaus Volkert, Professeur et Docteur en Mathématiques, Université de Cologne, Allemagne. Vous n'avez pas le droit de la modifier ni d'en faire un usage commercial. Lecture, diffusion et exploitation concrète de cette ressource audiovisuelle présuppose que vous ayez accepté les règles juridiques Creative Commons décrites dans la page http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.
Type: Droit d'auteur relatif à la production du document source
Cette ressource audiovisuelle est protégée par le régime "Creative Commons". Vous êtes libres de la reproduire, distribuer et communiquer au public. Mais vous devez impérativement signaler la paternité de son(ses) auteur(s): ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche), FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France ; Elisabeth De Pablo, ESCoM-AAR,FMSH, Paris, France. Vous n'avez pas le droit de la modifier ni d'en faire un usage commercial. Lecture, diffusion et exploitation concrète de cette ressource audiovisuelle présuppose que vous ayez accepté les règles juridiques Creative Commons décrites dans la page http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.
Titre: Analyse de la conférence de Klaus Volkert "Comment produire des espaces ?"
Sous-titre: Séminaire Histoires de Géométries année 2011
Langue(s): Français
Type: Analyse plus détaillé
Comment citer: © POTTIN, Ange. Analyse de la conférence de Klaus Volkert "Comment produire des espaces ?", séminaire Histoires de Géométries année 2011 (AHM 2014) - © de PABLO, Elisabeth (révision AHM 2016)
Id analyse: 77e5bf87-4abf-498f-814b-d9a92866e9aa
Id vidéo: d305e23b-94eb-479e-b5d8-21db8224bdeb