L'oeuvre de Misha Gromov. PANSU, Pierre

Chapitre

Titre: Introduction : les mondes périodiques
Durée: 00:09:36   [00:00:00 > 00:09:36]
Les travaux de Misha Gromov dans les années 70 prennent racine dans une question naturelle sur la structure de notre univers. Quand bien même, à notre échelle, nous expérimentons un espace infini à peu près euclidien, cela nous garde-t-il de conjecturer qu'il finit par se clore sur lui-même ? La réponse est non. On trouve de nombreux exemples d'espaces, comme le tore ou le ruban de Moebius, qui sont infinis mais se referment de façon périodique. Pour étudier ce type d'espace, on peut se servir de rayons lumineux compris comme des vecteurs, qu'on oriente de telle manière qu'ils reviennent au point de leur émission. L'ensemble de ces vecteurs, si on les comprend comme des opérations sur un plan infini des translations, forme un groupe commutatif.
Titre: Les espaces périodiques euclidiens à petite échelle ; la notion de nilpotence.
Durée: 00:08:25   [00:09:36 > 00:18:01]
A la fin du XXe siècle, un problème apparaît. Nos mesures étant nécessairement entachées d'erreur, peut-on affirmer que notre espace est rigoureusement euclidien ? Cela changerait-il notre classification des espaces périodiques ? Gromov montre qu'il existe d'autres géométries qui donnent lieu à des espaces périodiques qu'on peut équiper, à petite échelle, d'une géométrie arbitrairement proche de la géométrie euclidienne. À de tels espaces ne correspondent plus des groupes commutatifs, mais des groupes nilpotents, c'est-à-dire des groupes dans lesquels les commutateurs deviennent nuls après un nombre fini d'itérations.
Titre: L'idée de Gromov pour passer du groupe discret à l'espace continu; la distance de Gromov - Hausdorff.
Durée: 00:07:25   [00:18:01 > 00:25:27]
Dans la preuve de ce théorème, Gromov fait appel à une idée qui aura une grande fécondité pour les mathématiciens qui le suivront. Les rayons additionnables forment un groupe commutatif. Il s'agit de reconstruire un espace à partir de ce groupe discret, qu'on peut comprendre comme le carrelage du plan. L'idée de Gromov est de changer la focale, de s'éloigner de l'objet jusqu'à ce que l'ensemble de points du carrelage devienne un nuage qui sature peu à peu tout le cadre. Ainsi, on peut récupérer l'espace continu comme une limite. Plus techniquement, Gromov utilise pour cela un procédé qui consiste à plonger deux espaces dans un troisième, de manière isométrique. Il s'inspire en cela de la notion de distance d'Hausdorff, qui permet notamment de déterminer à quelle résolution regarder une image pour que deux figures se confondent. De cette convergence de deux figures on ne peut pas donner une expression exacte, mais uniquement une borne inférieure.
Titre: Utilisation de cette idée dans l'identification des protéines
Durée: 00:06:30   [00:25:27 > 00:31:58]
Cette idée de Gromov trouve une application en biologie dans le problème de l'identification des protéines. Les protéïnes sont soumises à des déformations qui conservent les distances. Elles sont donc soumises à des plongements isométriques au sens riemannien et intrinsèque. La notion de distance de Gromov-Hausdorff sert de base aux biologistes pour produire des algorithmes permettant de contrôler les déformations des protéïnes. Cette application montre l'extrême fécondité de l'idée de Gromov.
Sujet: Sujet
Topique: Approches interdisciplinaires en géométrie
Application de concepts de géométrie différentielle dans l'étude des protéines en biologie
Titre: Le parcours de Gromov des années 70 aux années 80
Durée: 00:03:07   [00:31:58 > 00:35:06]
En 1978, Gromov publie, dans le Journal of Differential Geometry, quatre articles qu'il avait certainement écrits depuis longtemps, alors qu'il était en train de quitter l'URSS. En 1979, il vient enseigner à Paris, puis à partir de 1982 sera professeur à l'IHÉS à Bures-sur-Yvette. C'est dans cette institution qu'il poursuivra ses recherches dans la direction de la théorie des groupes.
Titre: Le groupe comme espace métrique; le système de générateurs
Durée: 00:07:21   [00:35:06 > 00:42:27]
Comment un groupe peut-il être vu comme un espace métrique ? Il faut le munir d'un système de générateurs permettant de passer d'un élément à un autre. On peut comprendre la distance entre deux points comme étant le nombre de générateurs qu'il faut appliquer pour passer d'un point à un autre. Il existe différents types de systèmes de générateurs, qui produisent des espaces différents. Par exemple, le système de générateurs associé au groupe libre ne produit pas une grille.
Titre: La croissance polynomiale comme condition de convergence du discret au continu
Durée: 00:03:09   [00:42:27 > 00:45:36]
Ainsi, la distance dépend du choix de système générateur. Cependant, certaines notions sont conservées par équivalence. C'est le cas de la croissance polynomiale d'une boule, qui est une propriété qui dépend uniquement de la structure de groupe. Le passage du groupe discret au groupe continu a pour condition cette croissance polynomiale, qui autorise la convergence.
Titre: La classe des groupes libres
Durée: 00:11:09   [00:45:36 > 00:56:46]
Gromov dégage une classe de groupes qui fonctionne de manière différente. Il s'agit de la classe des groupes libres. Pour les étudier, il faut faire appel à la géométrie hyperbolique. C'est une classe très vaste : elle contient tous les groupes, au même titre que les trajectoires browniennes contiennent toutes les trajectoires. Dans un but de classification, il est nécessaire de caractériser de tels objets, afin de pouvoir distinguer ce qui est totalement aléatoire de ce qui a un sens. Cette approche trouve une grande fécondité dans la compréhension de la formation des langages, et un champ d'application important en informatique.
Titre: L'influence de Gromov sur la preuve de la conjecture de Poincaré par Perlemann
Durée: 00:12:50   [00:56:46 > 01:09:37]
Grisha Perleman a été formé à la géométrie riemannienne pratiquée par Gromov. Sa preuve de la conjecture de Poincaré s'appuie également sur la tentative de preuve de Rick Hamilton. Il s'agit de faire évoluer la métrique d'une manière qui obéit à un système d'équation aux dérivées partielles. Dans le cas de la chaleur, une telle évolution aboutit à une répartition uniforme, et Hamilton espérait obtenir le même résultat en géométrie. Cependant, cette évolution générait des particularités. Les travaux de Perelman vont contribuer à contrôler l'apparition de telles régularités par des procédés d'analyse et de chirurgie. En un temps fini, l'évolution aboutit à des sphères à courbure constante.
Titre: Question 1 : La conjecture de Poincaré et les évolutions de la topologie
Durée: 00:03:26   [01:09:37 > 01:13:03]
Dans les années 50 et 60, la topologie différentielle connut de grands succès, prouvant la conjecture de Poincaré pour des dimensions supérieures à trois, mais butait sur l'obstacle du groupe fondamental. A partir des années 70, la topologie s'enrichit en faisant appel, sous l'influence notamment des travaux de William Thurston, à des structures supplémentaires comme les feuilletages ou les structures symplectiques.
Titre: Question 2 : les outils fournis par la physique dans la résolution des problèmes géométriques
Durée: 00:06:23   [01:13:03 > 01:19:27]
Dans les années 80, les travaux de Simon Donaldson sont un exemple frappant de l'utilisation de notions héritées de la physique dans la résolution de problèmes géométriques. Il démontre notamment des théorèmes de topologie en dimension quatre en faisant appel à l'espace des solutions des équations d'auto-dualité.
Sujet: Sujet
Topique: Retours de la physique dans la géométrie
Retour de concepts tirés de la physique théorique dans la géométrie
Titre: Question 3 : le groupe aléatoire et la courbure négative
Durée: 00:05:13   [01:19:27 > 01:24:40]
Pourquoi le groupe aléatoire est il lié à la géométrie hyperbolique ? On peut comprendre l'espace lié à un groupe comme constitué non seulement de générateurs, mais aussi de relateurs entre les points. Le groupe aléatoire est celui dont les relateurs sont tirés au hasard ; c'est ici qu'apparaît la courbure négative : ces relateurs tirés au hasard génèrent des bords plus grands que l'intérieur des pavés du plan.
Titre: La puissance des concepts rudimentaires
Durée: 00:01:38   [01:24:40 > 01:26:19]
Les concepts rudimentaires des mathématiques ont une très grande puissance dans la résolution des problèmes, et il faut du temps pour s'en rendre compte en tant que mathématicien. Ils ont par ailleurs l'avantage d'être aisément traduisibles, ce qui leur permet de trouver des champs d'application dans beaucoup de domaines, comme en informatique.
Titre: Question 4 : Moyennabilité et isopérimétrie
Durée: 00:02:34   [01:26:19 > 01:28:53]
Dans cette section, Pierre Pansu définit plus précisément le caractère métrique des groupes moyennables en termes isopérimétriques.
Titre: Discussion
Durée: 00:10:07   [01:28:53 > 01:38:44]

15 chapitres.
  • Les travaux de Misha Gromov dans les années 70 prennent racine dans une question naturelle sur la structure de notre univers. Quand bien même, à notre échelle, nous expérimentons un espace infini à peu près euclidien, cela nous garde-t-il de conjecturer qu'il finit par se clore sur lui-même ? La réponse est non. On trouve de nombreux exemples d'espaces, comme le tore ou le ruban de Moebius, qui sont infinis mais se referment de façon périodique. Pour étudier ce type d'espace, on peut se servir de rayons lumineux compris comme des vecteurs, qu'on oriente de telle manière qu'ils reviennent au point de leur émission. L'ensemble de ces vecteurs, si on les comprend comme des opérations sur un plan infini des translations, forme un groupe commutatif.
  • A la fin du XXe siècle, un problème apparaît. Nos mesures étant nécessairement entachées d'erreur, peut-on affirmer que notre espace est rigoureusement euclidien ? Cela changerait-il notre classification des espaces périodiques ? Gromov montre qu'il existe d'autres géométries qui donnent lieu à des espaces périodiques qu'on peut équiper, à petite échelle, d'une géométrie arbitrairement proche de la géométrie euclidienne. À de tels espaces ne correspondent plus des groupes commutatifs, mais des groupes nilpotents, c'est-à-dire des groupes dans lesquels les commutateurs deviennent nuls après un nombre fini d'itérations.
  • Dans la preuve de ce théorème, Gromov fait appel à une idée qui aura une grande fécondité pour les mathématiciens qui le suivront. Les rayons additionnables forment un groupe commutatif. Il s'agit de reconstruire un espace à partir de ce groupe discret, qu'on peut comprendre comme le carrelage du plan. L'idée de Gromov est de changer la focale, de s'éloigner de l'objet jusqu'à ce que l'ensemble de points du carrelage devienne un nuage qui sature peu à peu tout le cadre. Ainsi, on peut récupérer l'espace continu comme une limite. Plus techniquement, Gromov utilise pour cela un procédé qui consiste à plonger deux espaces dans un troisième, de manière isométrique. Il s'inspire en cela de la notion de distance d'Hausdorff, qui permet notamment de déterminer à quelle résolution regarder une image pour que deux figures se confondent. De cette convergence de deux figures on ne peut pas donner une expression exacte, mais uniquement une borne inférieure.
  • Cette idée de Gromov trouve une application en biologie dans le problème de l'identification des protéines. Les protéïnes sont soumises à des déformations qui conservent les distances. Elles sont donc soumises à des plongements isométriques au sens riemannien et intrinsèque. La notion de distance de Gromov-Hausdorff sert de base aux biologistes pour produire des algorithmes permettant de contrôler les déformations des protéïnes. Cette application montre l'extrême fécondité de l'idée de Gromov.
  • En 1978, Gromov publie, dans le Journal of Differential Geometry, quatre articles qu'il avait certainement écrits depuis longtemps, alors qu'il était en train de quitter l'URSS. En 1979, il vient enseigner à Paris, puis à partir de 1982 sera professeur à l'IHÉS à Bures-sur-Yvette. C'est dans cette institution qu'il poursuivra ses recherches dans la direction de la théorie des groupes.
  • Comment un groupe peut-il être vu comme un espace métrique ? Il faut le munir d'un système de générateurs permettant de passer d'un élément à un autre. On peut comprendre la distance entre deux points comme étant le nombre de générateurs qu'il faut appliquer pour passer d'un point à un autre. Il existe différents types de systèmes de générateurs, qui produisent des espaces différents. Par exemple, le système de générateurs associé au groupe libre ne produit pas une grille.
  • Ainsi, la distance dépend du choix de système générateur. Cependant, certaines notions sont conservées par équivalence. C'est le cas de la croissance polynomiale d'une boule, qui est une propriété qui dépend uniquement de la structure de groupe. Le passage du groupe discret au groupe continu a pour condition cette croissance polynomiale, qui autorise la convergence.
  • Gromov dégage une classe de groupes qui fonctionne de manière différente. Il s'agit de la classe des groupes libres. Pour les étudier, il faut faire appel à la géométrie hyperbolique. C'est une classe très vaste : elle contient tous les groupes, au même titre que les trajectoires browniennes contiennent toutes les trajectoires. Dans un but de classification, il est nécessaire de caractériser de tels objets, afin de pouvoir distinguer ce qui est totalement aléatoire de ce qui a un sens. Cette approche trouve une grande fécondité dans la compréhension de la formation des langages, et un champ d'application important en informatique.
  • Grisha Perleman a été formé à la géométrie riemannienne pratiquée par Gromov. Sa preuve de la conjecture de Poincaré s'appuie également sur la tentative de preuve de Rick Hamilton. Il s'agit de faire évoluer la métrique d'une manière qui obéit à un système d'équation aux dérivées partielles. Dans le cas de la chaleur, une telle évolution aboutit à une répartition uniforme, et Hamilton espérait obtenir le même résultat en géométrie. Cependant, cette évolution générait des particularités. Les travaux de Perelman vont contribuer à contrôler l'apparition de telles régularités par des procédés d'analyse et de chirurgie. En un temps fini, l'évolution aboutit à des sphères à courbure constante.
  • Dans les années 50 et 60, la topologie différentielle connut de grands succès, prouvant la conjecture de Poincaré pour des dimensions supérieures à trois, mais butait sur l'obstacle du groupe fondamental. A partir des années 70, la topologie s'enrichit en faisant appel, sous l'influence notamment des travaux de William Thurston, à des structures supplémentaires comme les feuilletages ou les structures symplectiques.
  • Dans les années 80, les travaux de Simon Donaldson sont un exemple frappant de l'utilisation de notions héritées de la physique dans la résolution de problèmes géométriques. Il démontre notamment des théorèmes de topologie en dimension quatre en faisant appel à l'espace des solutions des équations d'auto-dualité.
  • Pourquoi le groupe aléatoire est il lié à la géométrie hyperbolique ? On peut comprendre l'espace lié à un groupe comme constitué non seulement de générateurs, mais aussi de relateurs entre les points. Le groupe aléatoire est celui dont les relateurs sont tirés au hasard ; c'est ici qu'apparaît la courbure négative : ces relateurs tirés au hasard génèrent des bords plus grands que l'intérieur des pavés du plan.
  • Les concepts rudimentaires des mathématiques ont une très grande puissance dans la résolution des problèmes, et il faut du temps pour s'en rendre compte en tant que mathématicien. Ils ont par ailleurs l'avantage d'être aisément traduisibles, ce qui leur permet de trouver des champs d'application dans beaucoup de domaines, comme en informatique.
Titre: L'oeuvre de Misha Gromov
Sous-titre: Histoire de Géométries - Année 2011
Auteur(s): PANSU, Pierre
Durée: 01:38:44
Date de réalisation: 29/03/2010
Lieu de réalisation: Fondation Maison des Sciences de l'Homme 54 Boulevard Raspail, 75006 Paris, France
Genre: Cours d'enseignement supérieur filmé
Pierre Pansu examine les contributions de Mikhaïl Gromov en géométrie riemannienne. Il expose la démonstration par Gromov de l'existence d'espaces périodiques non-euclidiens pouvant être dotés d'une métrique arbitrairement proche de la métrique euclidienne. La preuve de ce théorème fait appel à la notion de distance de Hausdorff. Elle met en place toute une stratégie pour passer du discret au continu à l'aide d'un phénomène de convergence. Cette idée de Gromov trouve un champ d'application en biologie, dans l'identification des protéines soumises à des déformations, mais aussi dans la preuve de la conjecture de Poincaré par Grigori Perelman, preuve qui s'appuie également sur les travaux de Rick Hamilton sur les équations à dérivées partielles. Elle trouve également une grande fécondité en informatique, grâce à son caractère relativement rudimentaire qui la rend aisément traduisible d'un domaine à l'autre.
Sujet: Sujet
Topique: Géométrie différentielle
Géométrie riemanienne, étude de la périodicité, problématique du passage du local au global.
Sujet: Personnalité
Topique: Gromov, Mikhail
Nom: ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche)
Rôle: Producteurs d'oeuvres audiovisuelles
Adresse: FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France
ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche), FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France
Nom: Pansu
Prénom: Pierre
Rôle: Mathématiciens
Appartenance: Universités françaises
Adresse: Professeur au département de mathématiques d'Orsay, Université Paris-Sud 11, France
Pierre Pansu, Professeur au département de mathématiques d'Orsay, Université Paris-Sud 11, France
Type: Contexte "Recherche"
Public cible: Pour tout public
Présentation à la fois précise et très accessible de notions fondamentales.
PANSU, Pierre. "L'oeuvre de Misha Gromov", Histoires de Géométries année 2010.
Type: Droit d'auteur relatif au contenu du document source
Cette ressource audiovisuelle est protégée par le régime "Creative Commons". Vous êtes libres de la reproduire, distribuer et communiquer au public. Mais vous devez impérativement signaler la paternité de(s) ayant-droit(s) du contenu du média: Pierre Pansu, Professeur au département de mathématiques d'Orsay, Université Paris-Sud 11, France. Vous n'avez pas le droit de la modifier ni d'en faire un usage commercial. Lecture, diffusion et exploitation concrète de cette ressource audiovisuelle présuppose que vous ayez accepté les règles juridiques Creative Commons décrites dans la page http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.
Type: Droit d'auteur relatif à la production du document source
Cette ressource audiovisuelle est protégée par le régime "Creative Commons". Vous êtes libres de la reproduire, distribuer et communiquer au public. Mais vous devez impérativement signaler la paternité de son(ses) auteur(s): ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche), FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France ; Elisabeth De Pablo, ESCoM-AAR,FMSH, Paris, France. Vous n'avez pas le droit de la modifier ni d'en faire un usage commercial. Lecture, diffusion et exploitation concrète de cette ressource audiovisuelle présuppose que vous ayez accepté les règles juridiques Creative Commons décrites dans la page http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.
Titre: Description de la conférence "L'oeuvre de Misha Gromov" par Pierre Pansu, séminaire Histoires de Géométries, année 2010.
Langue(s): Français
Comment citer: POTTIN, Ange. "Description de la conférence "L'oeuvre de Misha Gromov" par Pierre Pansu, séminaire Histoires de Géométries, année 2010.", 2014.
Id analyse: 79c64eb7-74ec-47b4-b115-91b7c958d372
Id vidéo: d40dc759-57e3-481f-8629-6832603ced15