Equations différentielles sur les surfaces et théorème d'uniformisation. BERGERON, Nicolas

Chapitre

Titre: Introduction
Durée: 00:04:02   [00:00:00 > 00:04:02]
Le théorème d'uniformisation de Poincaré stipule que toute surface de R simplement connexe est isomorphe au plan, à la sphère ou au disque. On connaît généralement ce théorème sous d'autres avatars, qui font appel aux notions d'ouvert du plan ou de revêtement universel. Nicolas Bergeron propose de retracer, dans cette intervention, la genèse de ce théorème dans les recherches de Poincaré.
Titre: Des courbes planes aux surfaces de Riemann
Durée: 00:16:48   [00:04:02 > 00:20:50]
Il faut d'abord revenir à la théorie des courbes planes et de leur classification selon des invariants. Historiquement, le premier de ces invariants est le degré du polynome. Par la suite, trois innovations permettent de faire avancer la classification : le plan projectif, les nombres complexes et les changements de coordonnées non linéaires. En combinant les trois, on obtient la géométrie birationnelle. Riemann, à partir de cette situation, associe une surface à chaque courbe algébrique complexe. Pour contrôler les singularités, il construit une surface topologique associée, ce qui permet en dernière instance de substituer au problème algébrique de description des courbes le problème transcendant de description des surfaces de Riemann. On obtient un nouvel invariant, purement topologique : le genre.
Titre: Le paramétrage des courbes de genre 0 et 1
Durée: 00:14:02   [00:20:50 > 00:34:52]
Clebsch démontre que les courbes de genre 0 sont bi rationnellement équivalentes à une droite. Seule une petite partie des courbes est rationnelle, et la rationalité est rare si le degré est supérieur ou égal à trois. En fait, on peut démontrer que l'espace des courbes rationnelles est plus petit que 3d-1 paramètres (où d est le degré de la courbe).
Titre: Les courbes de genre supérieur à deux
Durée: 00:08:23   [00:34:52 > 00:43:15]
Pour les courbes de genre supérieur à deux, on a longtemps pensé qu'on ne pourrait avoir de résultat d'uniformisation. Puis Klein découvre la quartique qui porte désormais son nom, qui est uniformisée par le disque. En 1881, Poincaré introduit de nouvelles fonctions méromorphes sur le disque. Il comprend que le disque peut uniformiser toutes les surfaces de Riemann compactes de genre supérieur à deux. En d'autres termes, on peut paramétrer la courbe par des fonctions méromorphes uniformes sur le disque.
Titre: La théorie des fonctions de Poincaré
Durée: 00:13:17   [00:43:15 > 00:56:32]
Le théorème de Poincaré vient de ses recherches dans la théorie des fonctions, qu'on peut comprendre comme visant à élargir la boite à outils de fonctions disponibles pour les mathématiciens et les physiciens. Poincaré cherche à découvrir de nouvelles fonctions transcendantes en résolvant des équations différentielles ; ces recherches l'amènent à porter attention aux phénomènes de monodromie.
Titre: La matrice de monodromie et l'équivalence projective
Durée: 00:11:00   [00:56:32 > 01:07:33]
La matrice de monodromie est associée aux chemins construits localement autour des pôles d'une fonction. Il s'agit alors de globaliser sur toute la surface. Pour ce faire, on part d'un ouvert sur la surface, et on suppose des coordonnées holomorphes définies sur cet ouvert. Ensuite, on fait appel à la notion d'équivalence projective.
Titre: Les équations globalisables à équivalence projective près
Durée: 00:14:34   [01:07:33 > 01:22:07]
Poincaré cherche les équations globalisables sur les courbes hyperelliptiques. On trouve 3G-3 (où G désigne le genre) paramètres complexes d'équations globalisables sur la courbe. On peut définir l'ensemble des équations globalisables à équivalence projective près. Cet ensemble, en termes modernes, est l'ensemble des structures projectives complexes sur la courbe, et peut s'obtenir par des changements de cartes.
Titre: Vers les fonctions fuchsiennes
Durée: 00:08:15   [01:22:07 > 01:30:23]
Poincaré se pose ensuite la question suivante : existe-t-il une fonction définie sur le disque qui soit invariante par monodromie ? Il trouve par exemple la fonction J, dont l'équation différentielle correspondante est l'équation hypergéométrique. Il trouve également des choses dans la géométrie associée aux formes quadratiques. Enfin, il trouve son théorème de pavage, qui ouvre la voie vers les fonctions fuchsiennes.
Titre: Vers les preuves du théorème d'uniformisation
Durée: 00:16:45   [01:30:23 > 01:46:55]
Maintenant, il s'agit, à partir de la courbe, de chercher parmi les structures globalisables l'équation uniformisante. La détermination de cette équation peut se faire selon trois moyens différents.

9 chapitres.
  • Le théorème d'uniformisation de Poincaré stipule que toute surface de R simplement connexe est isomorphe au plan, à la sphère ou au disque. On connaît généralement ce théorème sous d'autres avatars, qui font appel aux notions d'ouvert du plan ou de revêtement universel. Nicolas Bergeron propose de retracer, dans cette intervention, la genèse de ce théorème dans les recherches de Poincaré.
  • Il faut d'abord revenir à la théorie des courbes planes et de leur classification selon des invariants. Historiquement, le premier de ces invariants est le degré du polynome. Par la suite, trois innovations permettent de faire avancer la classification : le plan projectif, les nombres complexes et les changements de coordonnées non linéaires. En combinant les trois, on obtient la géométrie birationnelle. Riemann, à partir de cette situation, associe une surface à chaque courbe algébrique complexe. Pour contrôler les singularités, il construit une surface topologique associée, ce qui permet en dernière instance de substituer au problème algébrique de description des courbes le problème transcendant de description des surfaces de Riemann. On obtient un nouvel invariant, purement topologique : le genre.
  • Clebsch démontre que les courbes de genre 0 sont bi rationnellement équivalentes à une droite. Seule une petite partie des courbes est rationnelle, et la rationalité est rare si le degré est supérieur ou égal à trois. En fait, on peut démontrer que l'espace des courbes rationnelles est plus petit que 3d-1 paramètres (où d est le degré de la courbe).
  • Pour les courbes de genre supérieur à deux, on a longtemps pensé qu'on ne pourrait avoir de résultat d'uniformisation. Puis Klein découvre la quartique qui porte désormais son nom, qui est uniformisée par le disque. En 1881, Poincaré introduit de nouvelles fonctions méromorphes sur le disque. Il comprend que le disque peut uniformiser toutes les surfaces de Riemann compactes de genre supérieur à deux. En d'autres termes, on peut paramétrer la courbe par des fonctions méromorphes uniformes sur le disque.
  • Le théorème de Poincaré vient de ses recherches dans la théorie des fonctions, qu'on peut comprendre comme visant à élargir la boite à outils de fonctions disponibles pour les mathématiciens et les physiciens. Poincaré cherche à découvrir de nouvelles fonctions transcendantes en résolvant des équations différentielles ; ces recherches l'amènent à porter attention aux phénomènes de monodromie.
  • Poincaré cherche les équations globalisables sur les courbes hyperelliptiques. On trouve 3G-3 (où G désigne le genre) paramètres complexes d'équations globalisables sur la courbe. On peut définir l'ensemble des équations globalisables à équivalence projective près. Cet ensemble, en termes modernes, est l'ensemble des structures projectives complexes sur la courbe, et peut s'obtenir par des changements de cartes.
  • Poincaré se pose ensuite la question suivante : existe-t-il une fonction définie sur le disque qui soit invariante par monodromie ? Il trouve par exemple la fonction J, dont l'équation différentielle correspondante est l'équation hypergéométrique. Il trouve également des choses dans la géométrie associée aux formes quadratiques. Enfin, il trouve son théorème de pavage, qui ouvre la voie vers les fonctions fuchsiennes.
Titre: Equations différentielles sur les surfaces et théorème d'uniformisation
Sous-titre: Histoires de Géométries - année 2011
Auteur(s): BERGERON, Nicolas
Date de réalisation: 04/04/2011
Lieu de réalisation: Fondation Maison des Sciences de l'Homme, 190-198 avenue de France, 75013 Paris, France
Genre: Conférence filmée
Comment Poincaré est-il arrivé à la formulation de son théorème d'uniformisation ? Il s'agit d'abord d'aller voir dans la classification des courbes planes et la théorie des surfaces de Riemann. Cette dernière donne naissance à un nouvel invariant permettant de classer les courbes, à savoir le genre. Le théorème d'uniformisation de Poincaré permet d'uniformiser les courbes de genre supérieur à deux. Nicolas Bergeron montre que Poincaré est arrivé à ce théorème à partir d'un travail sur les équations différentielles linéaires d'ordre deux, travail qui l'a amené à la découverte des fonctions fuchsiennes.
Sujet: Sujet
Topique: Géométrie algébrique
Sujet: Personnalité
Topique: Poincaré, Henri
Nom: Bergeron
Prénom: Nicolas
Rôle: Mathématiciens
Appartenance: CNRS
Adresse: Université Paris 6 - Pierre et Marie Curie, France
Nicolas Bergeron, Université Paris 6 - Pierre et Marie Curie, France
Nom: ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche)
Rôle: Producteurs d'oeuvres audiovisuelles
Adresse: FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France
ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche), FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France
Type: Contexte "Recherche"
Public cible: Pour spécialistes
Exposé technique sur les origines du théorème d'uniformisation de Poincaré
BERGERON, Nicolas. "Equations différentielles sur les surfaces et théorème d'uniformisation", Histoires de Géométries, 2011.
Type: Droit d'auteur relatif au contenu du document source
Cette ressource audiovisuelle est protégée par le régime "Creative Commons". Vous êtes libres de la reproduire, distribuer et communiquer au public. Mais vous devez impérativement signaler la paternité de(s) ayant-droit(s) du contenu du média: Nicolas Bergeron, Université Paris 6 - Pierre et Marie Curie, France. Vous n'avez pas le droit de la modifier ni d'en faire un usage commercial. Lecture, diffusion et exploitation concrète de cette ressource audiovisuelle présuppose que vous ayez accepté les règles juridiques Creative Commons décrites dans la page http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.
Type: Droit d'auteur relatif à la production du document source
Cette ressource audiovisuelle est protégée par le régime "Creative Commons". Vous êtes libres de la reproduire, distribuer et communiquer au public. Mais vous devez impérativement signaler la paternité de son(ses) auteur(s): ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche), FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France ; Elisabeth De Pablo, ESCoM-AAR,FMSH, Paris, France. Vous n'avez pas le droit de la modifier ni d'en faire un usage commercial. Lecture, diffusion et exploitation concrète de cette ressource audiovisuelle présuppose que vous ayez accepté les règles juridiques Creative Commons décrites dans la page http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.
Titre: Analyse de l'intervention de Nicolas Bergeron au séminaire Histoires de Géométries, année 2011
Langue(s): Français
Type: Analyse plus détaillé
Comment citer: © POTTIN, Ange. « Analyse de l'intervention de Nicolas Bergeron au séminaire Histoires de Géométries, année 2011» (AHM 2014) - © de PABLO, Elisabeth (révision AHM 2016)
Id analyse: 941525b0-3012-48fb-b661-1a5c39fdec78
Id vidéo: 54ffd38c-9e9d-4163-a148-14f2c9fa6c2e
Analyse de l'intervention de Nicolas Bergeron au séminaire Histoires de Géométries, année 2011 portant sur les "Equations différentielles sur les surfaces et théorème d'uniformisation".