L'influence de la théorie de Galois sur l'oeuvre de Grothendieck. CHARGOIS, Francois

Chapitre

Titre: La théorie de Galois et la théorie topologique des revêtements
Durée: 00:04:12   [00:00:00 > 00:04:12]
La théorie de Galois classique étudie les extensions d'un corps commutatif et la manière dont elles s'imbriquent les unes dans les autres. Dans les années cinquante, au moment où Grothendieck commence ses travaux, on connaît déjà les analogies entre cette théorie algébrique et la théorie topologique des revêtements du groupe fondamental, analogies qui font correspondre aux corps les espaces connexes. Néanmoins, la synthèse n'est pas encore parfaitement opérée, et le travail de Grothendieck va consister à en faire deux illustrations d'une théorie plus générale, celle des catégories galoisiennes.
Titre: La théorie de Galois revue par Grothendieck
Durée: 00:05:44   [00:04:12 > 00:09:56]
La reformulation par Grothendieck de la théorie de Galois consiste, dans un premier temps, à ne se limiter ni aux extensions finies séparables d'un corps, ni aux revêtements connexes d'un espace topologique, en admettant dans la théorie toutes les k-algèbres, qui coïncident avec les k-algèbres étales. Il en vient alors à définir un foncteur de la catégories des k-algèbres étales vers la catégorie des ensembles finis dont les automorphismes forment un groupe profini.
Titre: Retour sur la topologie ; quelques conséquences de la théorie de Grothendieck
Durée: 00:05:28   [00:09:56 > 00:15:25]
Grothendieck obtient alors, de façon totalement analogue, une reformulation de la théorie des revêtements et du groupe de Poincaré : le même foncteur induit une équivalence des revêtements sur la catégorie des ensembles munis d'une opération du groupe d'automorphismes. De manière générale, la reformulation de Galois par Grothendieck a pour vertu de placer sous l'égide de la géométrie ce qui, auparavant, ne relevait que de l'algèbre. Selon François Chargois, sous cette nouvelle forme, la théorie est plus proche de Galois lui-même que ne l'étaient celles de ses successeurs.
Titre: Les catégories galoisiennes
Durée: 00:03:55   [00:15:25 > 00:19:21]
Une catégorie est dite galoisienne si, outre une propriété de factorisation que F. Chargois ne développe pas ici, si et seulement si (i) elle est exacte, c'est-à-dire que les limites sont représentables sur C, et (ii) elle admet un foncteur fibre exact et conservatif. Un point important est que ces foncteurs-fibres ne sont pas uniques, mais sont par contre tous isomorphes. Ils s'organisent en un groupoïde profini.
Titre: Groupe fondamental étale des schémas
Durée: 00:04:08   [00:19:21 > 00:23:30]
La théorie de Grothendieck permet, pour tout point "a" d'un schéma S non vide et connexe, de définir un foncteur fibre associant au revêtement X de S l'ensemble des revêtements de "a" à X. Plus fondamentalement, elle fournit le groupoïde fondamental étale de S, dont les objets sont les points géométriques de S et les flèches les isomorphismes des foncteurs-fibres correspondants.
Titre: Le théorème d'existence de Riemann ; la suite fondamentale exacte d'homotopie
Durée: 00:06:12   [00:23:30 > 00:29:43]
Pour établir le caractère proprement géométrique du groupe fondamental, Grothendieck invente le théorème d'existence de Riemann, qui établir une équivalence de catégories entre la catégorie des revêtements étales de S vers celle des revêtements analytiques de San. Par ailleurs, la suite exacte fondamentale d'homotopie de Grothendieck une opération extérieure du groupe algébrique de Galois Gal(k) sur le groupe fondamental géométrique. Cette suite joue également un grand rôle en géométrie anabélienne.
Titre: Les origines de la théorie des motifs de Grothendieck
Durée: 00:05:00   [00:29:43 > 00:34:44]
Les idées galoisiennes de Grothendieck vont ressurgir à partir de 1964, lorsque celui-ci cherchera à mettre en place la théorie des motifs. Cette théorie naît des similitudes qu'on peut constater entre les multiples théories cohomologiques pour les variétés algébriques. F. Chargois passe rapidement en revue les plus connues de ces théories : la cohomologie de Betti, la cohomologie l-adique et la cohomologie de Rham.
Titre: La conjecture d'une théorie cohomologique universelle, son explication motivique
Durée: 00:05:28   [00:34:44 > 00:40:12]
Langue(s): Français
Afin de rendre compte des similitudes, pour la plupart inexpliquées, entre ces cohomologies, Grothendieck fait la conjecture d'une cohomologie universelle. A cette fin, il élabore pour ses catégories motiviques de structures et des propriétés très riches, que F. Chargois passe ici en revue. Ces structures ouvre la porte à l'idée selon laquelle la catégorie des motifs serait la catégorie des représentations d'un schéma de groupe approprié, idée qui crée un lien profond avec la théorie de Galois.
Titre: Catégories et dualités tannakiennes
Durée: 00:07:26   [00:40:12 > 00:46:56]
Les catégories tannakiennes sont une variante linéaire de la théorie. Le théorème de la dualité tannakienne permet de montrer que les divers foncteurs fibres dans une catégorie tannakienne s'organise en une gerbe affine. Cela trouve une application sur le corps de Galois motivique des corps rationnels.

9 chapitres.
  • La théorie de Galois classique étudie les extensions d'un corps commutatif et la manière dont elles s'imbriquent les unes dans les autres. Dans les années cinquante, au moment où Grothendieck commence ses travaux, on connaît déjà les analogies entre cette théorie algébrique et la théorie topologique des revêtements du groupe fondamental, analogies qui font correspondre aux corps les espaces connexes. Néanmoins, la synthèse n'est pas encore parfaitement opérée, et le travail de Grothendieck va consister à en faire deux illustrations d'une théorie plus générale, celle des catégories galoisiennes.
  • La reformulation par Grothendieck de la théorie de Galois consiste, dans un premier temps, à ne se limiter ni aux extensions finies séparables d'un corps, ni aux revêtements connexes d'un espace topologique, en admettant dans la théorie toutes les k-algèbres, qui coïncident avec les k-algèbres étales. Il en vient alors à définir un foncteur de la catégories des k-algèbres étales vers la catégorie des ensembles finis dont les automorphismes forment un groupe profini.
  • Grothendieck obtient alors, de façon totalement analogue, une reformulation de la théorie des revêtements et du groupe de Poincaré : le même foncteur induit une équivalence des revêtements sur la catégorie des ensembles munis d'une opération du groupe d'automorphismes. De manière générale, la reformulation de Galois par Grothendieck a pour vertu de placer sous l'égide de la géométrie ce qui, auparavant, ne relevait que de l'algèbre. Selon François Chargois, sous cette nouvelle forme, la théorie est plus proche de Galois lui-même que ne l'étaient celles de ses successeurs.
  • Une catégorie est dite galoisienne si, outre une propriété de factorisation que F. Chargois ne développe pas ici, si et seulement si (i) elle est exacte, c'est-à-dire que les limites sont représentables sur C, et (ii) elle admet un foncteur fibre exact et conservatif. Un point important est que ces foncteurs-fibres ne sont pas uniques, mais sont par contre tous isomorphes. Ils s'organisent en un groupoïde profini.
  • La théorie de Grothendieck permet, pour tout point "a" d'un schéma S non vide et connexe, de définir un foncteur fibre associant au revêtement X de S l'ensemble des revêtements de "a" à X. Plus fondamentalement, elle fournit le groupoïde fondamental étale de S, dont les objets sont les points géométriques de S et les flèches les isomorphismes des foncteurs-fibres correspondants.
  • Pour établir le caractère proprement géométrique du groupe fondamental, Grothendieck invente le théorème d'existence de Riemann, qui établir une équivalence de catégories entre la catégorie des revêtements étales de S vers celle des revêtements analytiques de San. Par ailleurs, la suite exacte fondamentale d'homotopie de Grothendieck une opération extérieure du groupe algébrique de Galois Gal(k) sur le groupe fondamental géométrique. Cette suite joue également un grand rôle en géométrie anabélienne.
  • Les idées galoisiennes de Grothendieck vont ressurgir à partir de 1964, lorsque celui-ci cherchera à mettre en place la théorie des motifs. Cette théorie naît des similitudes qu'on peut constater entre les multiples théories cohomologiques pour les variétés algébriques. F. Chargois passe rapidement en revue les plus connues de ces théories : la cohomologie de Betti, la cohomologie l-adique et la cohomologie de Rham.
  • Afin de rendre compte des similitudes, pour la plupart inexpliquées, entre ces cohomologies, Grothendieck fait la conjecture d'une cohomologie universelle. A cette fin, il élabore pour ses catégories motiviques de structures et des propriétés très riches, que F. Chargois passe ici en revue. Ces structures ouvre la porte à l'idée selon laquelle la catégorie des motifs serait la catégorie des représentations d'un schéma de groupe approprié, idée qui crée un lien profond avec la théorie de Galois.
  • Les catégories tannakiennes sont une variante linéaire de la théorie. Le théorème de la dualité tannakienne permet de montrer que les divers foncteurs fibres dans une catégorie tannakienne s'organise en une gerbe affine. Cela trouve une application sur le corps de Galois motivique des corps rationnels.
Titre: L'influence de la théorie de Galois sur l'oeuvre de Grothendieck
Sous-titre: L'influence de la théorie de Galois sur l'oeuvre de Grothendieck
Auteur(s): CHARGOIS, Francois
Durée: 00:46:56
Date de réalisation: 28/09/2001
Lieu de réalisation: Institut Henri Poincaré 11, rue Pierre et Marie Curie, 75231 Paris Cedex 05, France
François Chargois montre dans cette conférence que l'on peut comprendre certaines théories de Grothendieck comme un approfondissement de la théorie de Galois. Grothendieck, tout d'abord, a fait de la théorie classique de son illustre prédécesseur un cas particulier de sa théorie du groupe fondamental étale de la théorie des schémas. Cette influence ressurgit ensuite dans la théorie des motifs et la recherche d'une cohomologie universelle pour les variétés algébriques, en lien avec les catégories tannakiennes.
Sujet: Personnalité
Topique: Galois, Evariste
Sujet: Sujet
Topique: Géométrie algébrique
Sujet: Personnalité
Topique: Grothendieck, Alexandre
Sujet: Sujet
Topique: Topologie
Catégorie linguistique: (Liste exp.nom.)
Cadre spatial: France
Localisation temporelle du sujet: 28/09/2001
Type: Contexte "Recherche"
Public cible: Pour spécialistes
Pour spécialiste, intéressé par l'histoire des mathématiques au XXe siècle, la topologie et la théorie des catégories.
CHARGOIS, Francois. "L'influence de la théorie de Galois sur l'oeuvre de Grothendieck", Géométrie au XXe siècle, 2001 [en ligne] URL : http://semioweb.msh-paris.fr/mathopales/geoconf2000/videotheque2.asp?cotevideo=37&fichiervideo=Chargois
Type: Droit d'auteur relatif à la production du document source
Le producteur de cette ressource audiovisuelle (enregistrement audiovisuel) est ESCoM - MSH (Paris, le 28 septembre 2001).
Type: Droit d'auteur relatif au contenu du document source
L'auteur de cette ressource audiovisuelle (enregistrement audiovisuel) est ESCoM - MSH (Paris, le 28 septembre 2001).
Type: Régime général "Creative Commons" relatifs au document source
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Titre: Analyse de l'intervention de François Chargois
Langue(s): Français
Type: Analyse plus détaillé
Id analyse: a0e70ba7-4ca4-49e5-a961-598080e4cb1a
Id vidéo: e3d69d10-0049-4d0e-ac85-e93e11b3c64e
Analyse de l'intervention de François Chargois sur l'influence de la théorie de Galois dans l'oeuvre de Grothendieck.