En 1757, Euler formule son théorème d'addition des intégrales elliptiques. En 1793, Legendre ramène ces intégrales à une forme canonique, de telle sorte à ce qu'elles ne dépendent plus que d'un seul paramètre, qui est ce qu'on appelle le module. En 1827-1828, Abel et Jacobi ont l'idée de considérer la fonction réciproque de l'intégrale, qui a pour intérêt qu'elle se prolonge par une fonction uniforme dans le plan des variables complexes. On trouve alors trois fonctions fondamentales, qui sont uniformes et méromorphes.
On peut ensuite trouver, en faisant appel à la surface de Riemann associée aux courbes, une structure analytique qui ne dépende que du rapport entre les deux périodes. C'est Jacobi qui démontre la formule qui donne la racine du module en fonction du rapport des deux périodes. |