En 1757, Euler formule son théorème d'addition des intégrales elliptiques. En 1793, Legendre ramène ces intégrales à une forme canonique, de telle sorte à ce qu'elles ne dépendent plus que d'un seul paramètre, qui est ce qu'on appelle le module. En 1827-1828, Abel et Jacobi ont l'idée de considérer la fonction réciproque de l'intégrale, qui a pour intérêt qu'elle se prolonge par une fonction uniforme dans le plan des variables complexes. On trouve alors trois fonctions fondamentales, qui sont uniformes et méromorphes. On peut ensuite trouver, en faisant appel à la surface de Riemann associée aux courbes, une structure analytique qui ne dépende que du rapport entre les deux périodes. C'est Jacobi qui démontre la formule qui donne la racine du module en fonction du rapport des deux périodes.

Dans les années 1850 et 1860, Hermite et Weierstrass trouvent une autre manière d'obtenir la forme canonique des intégrales de fonctions elliptiques. La fonction modulaire associée à cette forme permet de classer les fonctions à isomorphisme près. L'étape suivante consiste à généraliser à un degré quelconque ; Jacobi considère le cas où le degré est de forme 2n + 2, et démontre qu'il n'y a dans ce cas que n intégrales de première espèce. Il ramène également le cas de degré 6 à une forme canonique.

Média audiovisuel. Riemann, en 1857, étudie les intégrales des fonctions abéliennes, et les associe à des surfaces de Riemann. Le nombre P des intégrales abéliennes indépendantes est le genre, qui a la propriété de ne dépendre que de la topologie de la surface. Riemann classifie ensuite les surfaces modulo une transformation bi-rationnelle. Christian Houzel étudie également le théorème de Riemann-Roch, qui permet d'obtenir le nombre de paramètres desquels dépend une fonction méromorphe dont les pôles sont fixés. Avec ces paramètres, on peut fixer des points de ramification, que Riemann appelle des modules.

En 1846, Plücker donne l'équation d'une droite dans un espace en dimension trois avec quatre coefficients, et s'intéresse aux familles de droites qui ne dépendent que de trois paramètres. En 1865, il doit introduire un cinquième paramètre dans le but de maintenir l'invariance du degré d'un tel polynome. En 1868, il associe à la droite six coordonnées homogènes.

En 1905, Castelnuovo étudie les courbes algébriques tracées sur une surface algébrique donnée, et les systèmes linéaires sur les surfaces d'irrégularité. Il démontre que l'ensemble des systèmes linéaires dépend de P paramètres, qu'on peut considérer comme les points d'une variété algébrique de dimension P. Picard démontre à son tour qu'on peut trouver P intégrales simples sur la variété ; inversement, on peut paramétrer cette variété à l'aide de P intégrales simples. On trouve une situation tout a fait similaire au cas de la réciproque des intégrales elliptiques étudié au XVIIIe siècle.

En 1915, Severi étudie les ensembles de courbes de degré n dans le plan projectif, et s'intéresse à la partie formée par les courbes irréductibles. Ses résultats peuvent s'appliquer au problème des modules des surfaces de Riemann. Il cherche également à démontrer le caractère irréductible et unirationnel de la variété.

Le problème des modules de la surface de Riemann est abordé par Teichmüller d'un point de vue différent de celui de la géométrie algébrique. Son idée est qu'on peut représenter une surface riemannienne de genre supérieur ou égal à deux à l'aide du quotient du demi-plan de Poincaré par le sous-groupe discret et sans point fixe, qui est le groupe des translations non euclidiennes. Cela permet de paramétrer les surfaces de Riemann à l'aide de 6 paramètres réels.

Dans les années 1960, Grothendieck repense ces problèmes dans le cadre de la représentation de foncteurs. Etant donné un espace analytique S, on considère la famille de courbes de genre G au-dessus de S. Pour classer ces familles de courbes, il est nécessaire de faire appel à une structure supplémentaire, qui est le foncteur contravariant sur la catégorie des espaces analytiques ; il est ensuite nécessaire de trouver les conditions pour représenter ce foncteur.