Marcel Berger, après s'être excusé pour la dimension rhapsodique que va prendre son exposé, présente les définitions de la géométrie qu'il a recueillies chez des mathématiciens contemporains. Celles-ci font intervenir des idées qualitatives et intuitives de formes, de figures et d'abastraction, mais surtout l'idée d'imagination.

On peut penser le rapport de l'algèbre à la géométrie comme une offre faustienne : l'algèbre permettrait à la géométrie d'atteindre des résultats inespérés, mais lui ferait perdre son âme. Contre cette idée, on peut faire prévaloir le caractère fondamentalement intuitif de la géométrie, sa dimension de vision. Par exemple, Gromov qualifie ses démonstrations par le fait de "se mettre à l'infini et de regarder". On peut donner une détermination plus neurobiologique de cette idée, en faisant valoir le fait que les mathématiques font intervenir certaines zones du cerveau communes avec la vision.

A propos du lien entre géométrie et imagination, M. Berger évoque deux ouvrages qui proposent une approche intuitive de la géométrie. Le premier est Geometry and Imagination de Hilbert et Cohn-Vossen ; le second, Introduction to Geometry de Coxetter.

Pour Gromov, la recherche de "questions naturelles" en géométrie serait avant tout dictée par le contexte social, et ne correspond pas réellement à une question qu'un mathématicien lui-même se pose. Par ailleurs, il semblerait que la recherche en géométrie ne rencontre pas de points d'arrêt comme en algèbre.

M. Berger fait une rapide remarque sur un paradoxe contemporain concernant la géométrie : d'une part, elle est de plus en plus présente dans beaucoup de domaines des mathématiques et de la physique ; d'autre part, elle est de moins en moins présentes dans les programmes de l'enseignement supérieur, ce qui est d'autant plus regrettable que beaucoup d'ingénieurs ont besoin d'une vision géométrique.

M. Berger introduit la seconde partie de son intervention, qui consistera dans la présentation de quatre questions de géométrie faisant intervenir l'imagination. Il se basera pour cela sur les travaux de Richard Schwartz sur les notions de combinatoire, de géométrie dynamique et d'itération de figures.

Le premier exemple que prend M. Berger est celui d'un type de démonstration du théorème de Pappus, qui consiste à projeter les points à l'infini, et de les prolonger en une courbe continue. On obtient alors une courbe qui s'apparente à une fractale. Afin de saisir le groupe qui agit dans la formation de cette courbe, la stratégie consistera à fabriquer des à partir d'elle des boites, qui sont autant de pseudo-groupes.

Le second exemple concerne l'itération d'une figure : le pentagone. Cela nous conduit une fois de plus à passer dans le plan projectif : le second pentagone est projectivement équivalent. Pour comprendre la limite du procédé, il faut faire intervenir un procédé de re-normalisation qui "écrase" la figure.

Pour une itération de figure avec 7 côtés, il faut utiliser les coordonnées projectives de bi-rapports, ce qui amène à projeter un espace à n dimensions sur un plan.

Dans cette section, M. Berger présente les manières d'analyser un billard en deux dimensions : partir des trajectoires dans un triangle isocèle rectrangle, et les déployer au sein de différents carrés. De cette manière, on pourra chercher à faire apparaître la périodicité des mouvements, qui intéresse le physicien.

Ce qui a été dit jusqu'à maintenant concernait des particules de masses égales ; pour des particules de masses inégales, le problème reste largement ouvert. Il faut prendre un triangle rectangle dont les côtés sont les racines des masses ; de là deux cas de figures : soit l'angle alpha est rationnel à pi, soit il ne l'est pas. S'il est rationnel, on peut, en déployant le triangle en polygones, arriver au résultat que le billard sera ergodique.

Dans le cas d'angle irrationnel, les démonstrations sont généralement incomplètes. On arrive néanmoins à une classification : dans le cas convexe, le billard sera ergodique ; dans le cas convxe, ce sera un mélange de chaos et de système intégral. On peut également faire intervenir la notion de dualité, avec la conjecture selon laquelle on arrivera toujours à une trajectoire stable. Schwartz, en faisant intervenir les pavages de Penrose, donne un contre-exemple qu'il oppose à cette conjecture.

Le quatrième exemple que prend M. Beger est celui des différentes démonstrations du grand théorème de Poncelet. Ce théorème concerne l'inscription de polygones dans des coniques. Il fait également jouer un procédé d'itération.

Pour finir, M. Berger fait état des différentes démonstrations du grand théorème de Poncelet. La démonstration donnée par Poncelet lui-même fait notamment intervenir la notion dynamique de faisceau.