Bourbaki géomètre ? . CHORLAY, Renaud

Chapitre

Titre: Introduction
Durée: 00:06:29   [00:00:00 > 00:06:29]
La géométrie est absente des Eléments de Mathématiques publiés par le groupe Bourbaki. Pourtant, les archives attestent que le projet initial comportait bien un projet de géométrie, notamment de géométrie différentielle, pour lequel Ehresmann fut recruté. Pourquoi ce projet fut-il avorté ? Dans un premier temps, Renaud Chorlay étudiera la trajectoire du projet de géométrie dans les archives Bourbaki, puis il réinscrira cette question dans le contexte plus large du rapport de Bourbaki à "papa Cartan" et aux débats qui leur étaient contemporains sur la fondation de la géométrie différentielle.
Titre: Le projet et les principes de Bourbaki
Durée: 00:20:05   [00:06:29 > 00:26:35]
Le projet collectif de Bourbaki était initialement celui de la rédaction d'un ouvrage d'analyse utilisable par tous, étudiants, chercheurs, physiciens et techniciens. Pour ce faire, il devait obéir à quelques principes. Tout d'abord, un principe de généralité, présidant à la rédaction d'un "paquet abstrait initial" contenant, au début de l'ouvrage, les théories les plus générales. Ensuite, un principe de sélection des théories mûres amena les membres de Bourbaki à latéraliser dans un premier temps la théories des espaces fibrés. Troisièmement, un principe de rejet du pédantisme abstrait devait permettre l'utilisation d'exemples, même si les notions convoquées à l'occasion de ces exemples obligeaient de briser l'ordre logique de la déduction. Enfin, le projet initial comprenait l'incorporation de références bibliographiques, ce qui sera rejeté par la suite. Renaud Chorlay rappelle que les théories placées à la fin de l'ouvrage, c'est-à-dire celles visées par l'ordre déductif, décident de ce qu'on va mettre dans le paquet abstrait initial.
Sujet: Sujet
Topique: Epistémologie générale de la géométrie
Comment ordonner les différentes théories mathématiques dans un souci de généralité et d'efficacité ?
Titre: La géométrie dans le projet : quelles géométries ? Quelle place dans le plan de l'ouvrage ?
Durée: 00:12:41   [00:26:35 > 00:39:17]
En ce qui concerne la délimitation des théories géométriques à inclure, on trouve deux versions du projet. La première, minimaliste, proposait de n'intégrer que les géométries de groupes classiques, comme celle du groupe de translations. Ces géométries auraient été l'occasion d'illustrer l'algèbre et de donner des leçons d'axiomatique. La seconde, maximaliste et très ambitieuse, intègre une géométrie différentielle directement inspirée par les travaux d'Elie Cartan. Un autre problème est celui de l'ordre. Dieudonné produit deux versions du plan de l'ouvrage, en 1940 et en 1945. Dans la version de 1940, le calcul différentiel sur les variétés est inclu dans le paquet abstrait initial. Dans la version de 1945, où le plan est réduit à la première partie, c'est-à-dire au paquet abstrait initial, on trouve non seulement les variétés différentiables, mais aussi les espaces fibrés, désormais considérés comme suffisamment mûrs, la géométrie différentielle et les groupes de Lie. On voit donc que, du moins dans les projets de plan, la géométrie a une place importante.
Titre: Deux essais avortés de "Géométrie élémentaire"
Durée: 00:15:25   [00:39:17 > 00:54:42]
Qu'en est-il des textes traitant directement de géométrie ? On trouve dans les archives deux états successifs d'un traité de "Géométrie Elémentaire". Le premier état présente des ressemblances frappantes avec le programme d'Erlangen de Félix Klein : toutes les géométries sont présentées comme des sous-géométries de la géométrie projective, et on propose d'utiliser les sous-groupes pour définir des géométries. Etudier une géométrie, c'est alors étudier un covariant associé à une action de groupe. Le programme proposé en 1951 par Chevalley revêt un style très différent. Il est plus proche d'un exercice de style : il s'agit d'utiliser un cadre structurel très formel pour parvenir à la fin à une définition de la géométrie euclidienne plane, c'est-à-dire des notions les plus élémentaires de la géométrie. Ce programme a déplu, et fut écarté.
Titre: La géométrie dans les projets parallèles des membres de Bourbaki
Durée: 00:04:57   [00:54:42 > 00:59:40]
Bien sûr, si le projet d'un exposé de géométrie fut écarté de la rédaction des éléments, cela ne signifie pas pour autant que la géométrie ne faisait pas partie de la culture bourbachique. Renaud Chorlay cite ici les travaux de Chevalley sur les groupes de Lie, et le colloque sur les fibrés auquel participèrent Henri Cartan et Ehresmann.
Titre: Bourbaki et Cartan : un projet d'héritage
Durée: 00:12:33   [00:59:40 > 01:12:13]
Renaud Chorlay étudie ici le portrait d'Elie Cartan que brossent Shiing-Shen Chern et Claude Chevalley dans une notice nécrologique rédigée en 1952. Dans ce texte, les auteurs déplorent le manque d'influence des travaux d'Elie Cartan sur les jeunes mathématiciens. Ils revendiquent son héritage, tout en admettant qu'il est un auteur difficile à lire. Dans la réunion de 1935, Elie Cartan est présent à titre consultatif, et invite les membres de Bourbaki à intégrer dans le bloc élémentaire initial les équations aux dérivées partielles et la théorie des systèmes de Pfaff. Le séminaire Bourbaki de 1936-1937 aura pour but de présenter ces théories aux membres; la moitié des exposés sont pris en charge par "papa Cartan". Une autre notice nécrologique, rédigée par J.H.C. Whitehead, insiste, contrairement à la notice de Chern et de Chevalley, sur la clarté des écrits d'Elie Cartan. Ceux-ci s'appuient sur la connaissance de cas particuliers et procèdent par synthèse à partir d'eux, dans un style d'exposition fidèle à celui de Klein. Ce style d'exposition est à l'opposé de celui adopté par Bourbaki.
Titre: Un maître incompris ou un conflit entre différents programmes de fondation ?
Durée: 00:15:58   [01:12:13 > 01:28:12]
Le fait est que les mathématiciens américains admirent, à l'inverse des membres de Bourbaki, la clarté des travaux d'Elie Cartan. Il s'agit dès lors, pour comprendre cette situation, de réinscrire ces travaux dans le cadre des débats sur la fondation de la géométrie différentielle dans les années 1920-1930. En 1925, Elie Cartan propose une synthèse entre la théorie de Riemann, centrée sur l'étude particulière des variétés, et la théorie de Klein, qui adopte le point de vue général des groupes, par l'adoption de la théorie des connexions, qui étudie les connexions associées à l'action de groupe en chaque point. Au même moment, le mathématicien américain Oswald Veblen propose un projet concurrent, proposant de se débarasser totalement de la notion de groupe en lui substituant la théorie des invariants différentiels.
Titre: Les réécritures de Cartan dans le style bourbachique
Durée: 00:04:41   [01:28:12 > 01:32:53]
Dans cette section, Renaud Chorlay évoque le travail qu'il reste à faire sur les réécritures de la théorie de Cartan en style bourbachique, projet qui ne sera pas abandonné par le groupe après le sémianire de 36-37. En 1954, Henri Cartan propose un rapport sur la théorie des sytèmes différentiels qui ne fait pas référence à la théorie locale des singularités. Dans la recension par André Weil du livre d'Elie Cartan sur la méthode des repères mobiles, celui-ci propose une réécriture axiomatique de la théorie.
Titre: Questions et discussion
Durée: 00:20:48   [01:32:53 > 01:53:07]

9 chapitres.
  • La géométrie est absente des Eléments de Mathématiques publiés par le groupe Bourbaki. Pourtant, les archives attestent que le projet initial comportait bien un projet de géométrie, notamment de géométrie différentielle, pour lequel Ehresmann fut recruté. Pourquoi ce projet fut-il avorté ? Dans un premier temps, Renaud Chorlay étudiera la trajectoire du projet de géométrie dans les archives Bourbaki, puis il réinscrira cette question dans le contexte plus large du rapport de Bourbaki à "papa Cartan" et aux débats qui leur étaient contemporains sur la fondation de la géométrie différentielle.
  • Le projet collectif de Bourbaki était initialement celui de la rédaction d'un ouvrage d'analyse utilisable par tous, étudiants, chercheurs, physiciens et techniciens. Pour ce faire, il devait obéir à quelques principes. Tout d'abord, un principe de généralité, présidant à la rédaction d'un "paquet abstrait initial" contenant, au début de l'ouvrage, les théories les plus générales. Ensuite, un principe de sélection des théories mûres amena les membres de Bourbaki à latéraliser dans un premier temps la théories des espaces fibrés. Troisièmement, un principe de rejet du pédantisme abstrait devait permettre l'utilisation d'exemples, même si les notions convoquées à l'occasion de ces exemples obligeaient de briser l'ordre logique de la déduction. Enfin, le projet initial comprenait l'incorporation de références bibliographiques, ce qui sera rejeté par la suite. Renaud Chorlay rappelle que les théories placées à la fin de l'ouvrage, c'est-à-dire celles visées par l'ordre déductif, décident de ce qu'on va mettre dans le paquet abstrait initial.
  • En ce qui concerne la délimitation des théories géométriques à inclure, on trouve deux versions du projet. La première, minimaliste, proposait de n'intégrer que les géométries de groupes classiques, comme celle du groupe de translations. Ces géométries auraient été l'occasion d'illustrer l'algèbre et de donner des leçons d'axiomatique. La seconde, maximaliste et très ambitieuse, intègre une géométrie différentielle directement inspirée par les travaux d'Elie Cartan. Un autre problème est celui de l'ordre. Dieudonné produit deux versions du plan de l'ouvrage, en 1940 et en 1945. Dans la version de 1940, le calcul différentiel sur les variétés est inclu dans le paquet abstrait initial. Dans la version de 1945, où le plan est réduit à la première partie, c'est-à-dire au paquet abstrait initial, on trouve non seulement les variétés différentiables, mais aussi les espaces fibrés, désormais considérés comme suffisamment mûrs, la géométrie différentielle et les groupes de Lie. On voit donc que, du moins dans les projets de plan, la géométrie a une place importante.
  • Qu'en est-il des textes traitant directement de géométrie ? On trouve dans les archives deux états successifs d'un traité de "Géométrie Elémentaire". Le premier état présente des ressemblances frappantes avec le programme d'Erlangen de Félix Klein : toutes les géométries sont présentées comme des sous-géométries de la géométrie projective, et on propose d'utiliser les sous-groupes pour définir des géométries. Etudier une géométrie, c'est alors étudier un covariant associé à une action de groupe. Le programme proposé en 1951 par Chevalley revêt un style très différent. Il est plus proche d'un exercice de style : il s'agit d'utiliser un cadre structurel très formel pour parvenir à la fin à une définition de la géométrie euclidienne plane, c'est-à-dire des notions les plus élémentaires de la géométrie. Ce programme a déplu, et fut écarté.
  • Bien sûr, si le projet d'un exposé de géométrie fut écarté de la rédaction des éléments, cela ne signifie pas pour autant que la géométrie ne faisait pas partie de la culture bourbachique. Renaud Chorlay cite ici les travaux de Chevalley sur les groupes de Lie, et le colloque sur les fibrés auquel participèrent Henri Cartan et Ehresmann.
  • Renaud Chorlay étudie ici le portrait d'Elie Cartan que brossent Shiing-Shen Chern et Claude Chevalley dans une notice nécrologique rédigée en 1952. Dans ce texte, les auteurs déplorent le manque d'influence des travaux d'Elie Cartan sur les jeunes mathématiciens. Ils revendiquent son héritage, tout en admettant qu'il est un auteur difficile à lire. Dans la réunion de 1935, Elie Cartan est présent à titre consultatif, et invite les membres de Bourbaki à intégrer dans le bloc élémentaire initial les équations aux dérivées partielles et la théorie des systèmes de Pfaff. Le séminaire Bourbaki de 1936-1937 aura pour but de présenter ces théories aux membres; la moitié des exposés sont pris en charge par "papa Cartan". Une autre notice nécrologique, rédigée par J.H.C. Whitehead, insiste, contrairement à la notice de Chern et de Chevalley, sur la clarté des écrits d'Elie Cartan. Ceux-ci s'appuient sur la connaissance de cas particuliers et procèdent par synthèse à partir d'eux, dans un style d'exposition fidèle à celui de Klein. Ce style d'exposition est à l'opposé de celui adopté par Bourbaki.
  • Le fait est que les mathématiciens américains admirent, à l'inverse des membres de Bourbaki, la clarté des travaux d'Elie Cartan. Il s'agit dès lors, pour comprendre cette situation, de réinscrire ces travaux dans le cadre des débats sur la fondation de la géométrie différentielle dans les années 1920-1930. En 1925, Elie Cartan propose une synthèse entre la théorie de Riemann, centrée sur l'étude particulière des variétés, et la théorie de Klein, qui adopte le point de vue général des groupes, par l'adoption de la théorie des connexions, qui étudie les connexions associées à l'action de groupe en chaque point. Au même moment, le mathématicien américain Oswald Veblen propose un projet concurrent, proposant de se débarasser totalement de la notion de groupe en lui substituant la théorie des invariants différentiels.
  • Dans cette section, Renaud Chorlay évoque le travail qu'il reste à faire sur les réécritures de la théorie de Cartan en style bourbachique, projet qui ne sera pas abandonné par le groupe après le sémianire de 36-37. En 1954, Henri Cartan propose un rapport sur la théorie des sytèmes différentiels qui ne fait pas référence à la théorie locale des singularités. Dans la recension par André Weil du livre d'Elie Cartan sur la méthode des repères mobiles, celui-ci propose une réécriture axiomatique de la théorie.
Titre: Bourbaki géomètre ?
Sous-titre: Histoires de Géométries - Année 2011
Auteur(s): CHORLAY, Renaud
Date de réalisation: 30/05/2011
Lieu de réalisation: Fondation Maison des Sciences de l'Homme, 190-198 avenue de France, 75013 Paris, France
Genre: Cours d'enseignement supérieur filmé
La géométrie est absente des Eléments de Mathématiques rédigés par le groupe Bourbaki. Cependant, elle fait bien partie du projet initial. Quelles sont les raisons de cet abandon ? Renaud Chorlay propose ici de retracer, par une étude des archives du groupe, la trajectoire de la géométrie dans le projet bourbachique. Quelle est la géométrie visée ? Quelle est sa place dans le plan de l'ouvrage ? Pour mieux comprendre ces questions, l'intervenant propose de les ré-inscrire dans le contexte global des relations de Bourbaki avec Elie Cartan, dont les membres revendiquent l'héritage. Ces relations s'inscrivent dans le cadre de débats sur les fondations de la géométrie différentielle.
Sujet: Personnalité
Topique: Cartan, Elie
L'influence de "papa Cartan" sur les membres de Bourbaki
Sujet: Sujet
Topique: Epistémologie générale de la géométrie
Quelle place accorder à la géométrie dans une organisation systématique des connaissances mathématiques ?
Sujet: Sujet
Topique: Géométrie différentielle
Quelle place pour la géométrie différentielle dans la rédaction des Eléments de mathématique de Bourbaki ?
Nom: Chorlay
Prénom: Renaud
Rôle: Historiens des sciences
Appartenance: CNRS
Fonction: IUFM de Paris
Adresse: Equipe SPHERE, Paris, France
Renaud Chorlay, IUFM de Paris, Equipe SPHERE, Paris, France
Nom: ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche)
Rôle: Producteurs d'oeuvres audiovisuelles
Adresse: FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France
ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche), FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France
Type: Niveau Master
Public cible: Pour tout public
Pour toute personne désireuse d'en apprendre plus sur l'histoire du groupe de mathématiciens Bourbaki.
CHORLAY, Renaud. "Bourbaki Géomètre ?", Histoires de Géométries, année 2011.
Type: Droit d'auteur relatif au contenu du document source
Cette ressource audiovisuelle est protégée par le régime "Creative Commons". Vous êtes libres de la reproduire, distribuer et communiquer au public. Mais vous devez impérativement signaler la paternité de(s) ayant-droit(s) du contenu du média: Renaud Chorlay, IUFM de Paris, Equipe SPHERE, Paris, France. Vous n'avez pas le droit de la modifier ni d'en faire un usage commercial. Lecture, diffusion et exploitation concrète de cette ressource audiovisuelle présuppose que vous ayez accepté les règles juridiques Creative Commons décrites dans la page http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.
Type: Droit d'auteur relatif à la production du document source
Cette ressource audiovisuelle est protégée par le régime "Creative Commons". Vous êtes libres de la reproduire, distribuer et communiquer au public. Mais vous devez impérativement signaler la paternité de son(ses) auteur(s): ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche), FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France ; Elisabeth De Pablo, ESCoM-AAR,FMSH, Paris, France. Vous n'avez pas le droit de la modifier ni d'en faire un usage commercial. Lecture, diffusion et exploitation concrète de cette ressource audiovisuelle présuppose que vous ayez accepté les règles juridiques Creative Commons décrites dans la page http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.
Titre: Analyse de la conférence d'Arnaud Chorlay, "Bourbaki Géométre ?", séminaire Histoires de Géométrie 2011.
Langue(s): Français
Type: Analyse plus détaillé
Comment citer: © POTTIN, Ange. Analyse de la conférence d'Arnaud Chorlay, "Bourbaki géomètre ?", séminaire Histoires de Géométries 2011, AHM 2014. © de PABLO, Elisabeth (révision AHM 2016)
Id analyse: c6d16892-b11e-4f6b-8577-b79295ed5211
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