Que fonder ? Que justifier ? Quelques (contre)-exemples. GOLDSTEIN, Catherine

Chapitre

Titre: Introduction
Durée: 00:03:34   [00:00:00 > 00:03:34]
L'historiographie portant sur les fondements des mathématiques privilégie généralement les thèmes des concepts et de la déduction logique. Selon Catherine Goldstein, cette approche est partiale et tend à reconstruire des relations conceptuelles a posteriori. Par deux contre-exemples, ceux de Frénicle de Bessy au XVIIe siècle et de Charles Hermitte au XIXe, l'intervenante entend enrichir les vues sur les fondements des mathématiques.
Titre: La méthode de Frénicle de Bessy
Durée: 00:12:09   [00:03:34 > 00:15:43]
Frénicle de Bessy est l'auteur d'une Méthode pour trouver la Solution des Problèmes par les Exclusions, publiée en 1693. Il y propose 10 règles de la recherche mathématique, et soutient que le but de la science est d'atteindre la connaissance des particuliers. Ces règles, qui proposent avant tout de simplifier les problèmes et de rechercher les traits généraux à partir de cas particuliers, peuvent aujourd'hui nous sembler triviales. Catherine Goldstein étudie leur application concrète au problème suivant : quand est-ce qu'un nombre donné est l'hypoténuse d'un triangle rectangle ? Il met en place un système de tables permettant de repérer la propriété commune des hypoténuses, et en arrive à utiliser la décomposition en facteurs premiers.
Titre: Que fonde Frénicle de Bessy ?
Durée: 00:08:57   [00:15:43 > 00:24:41]
Frénicle de Bessy fonde une activité mathématique ancrée à la fois dans (i) la pratique sociale de l'échange des problèmes, (ii) un état du discours mathématique où l'arithmétique est intégrée dans l'analyse, qui unifie le discret et le continu, et dans (iii) une anthropologie qui donne une place prédominante aux facultés de mémoire et d'attention. Surtout, il s'agit de fonder ici la pratique de la découverte et de la solution de problèmes, non la déduction ou la formation de théorèmes ; il s'agit avant tout, pour reprendre l'analyse d'Hélène Verin, de "mettre en art" la solution des problèmes mathématiques. Sa méthode repose sur une conception classique de l'argumentation, dont l'archétype peut être trouvé dans le Novum Organum de Francis Bacon : il s'agit en science de partir des particuliers pour remonter aux principes, avant de redescendre vers la connaissance et la maîtrise pratique des particuliers.
Titre: Les principes de Charles Hermite
Durée: 00:11:20   [00:24:41 > 00:36:02]
Charles Hermite propose une fondation des mathématiques qui ne fait pas appel à l'idée de rigueur. Il comprend les objets mathématiques comme des espèces naturelles qu'il s'agit de classifier. Les principes qu'il préconise pour parvenir à cette classification ne sont pas choisis pour leur caractère élémentaire, mais pour leur fécondité. Ils se ramènent à des principes d'analyse, formés à partir de la réduction d'objets, par exemple les formes quadratiques.
Titre: Conclusion
Durée: 00:02:38   [00:36:02 > 00:38:33]
Frénicle de Bessy et Charles Hermite, s'ils sont bien investis dans la recherche de principes, ne sont pas prioritairement intéressés par la rigueur formelle, mais plutôt pas des critères de simplicité et de fécondité. Bien qu'ils aient été au coeur de polémiques cruciales, ils sont très rarement étudiés dans l'histoire des fondements des mathématiques. Pourtant, il est important de s'intéresser à leurs travaux, afin de comprendre quelles pratiques cette histoire a exclu.

5 chapitres.
  • L'historiographie portant sur les fondements des mathématiques privilégie généralement les thèmes des concepts et de la déduction logique. Selon Catherine Goldstein, cette approche est partiale et tend à reconstruire des relations conceptuelles a posteriori. Par deux contre-exemples, ceux de Frénicle de Bessy au XVIIe siècle et de Charles Hermitte au XIXe, l'intervenante entend enrichir les vues sur les fondements des mathématiques.
  • Frénicle de Bessy est l'auteur d'une Méthode pour trouver la Solution des Problèmes par les Exclusions, publiée en 1693. Il y propose 10 règles de la recherche mathématique, et soutient que le but de la science est d'atteindre la connaissance des particuliers. Ces règles, qui proposent avant tout de simplifier les problèmes et de rechercher les traits généraux à partir de cas particuliers, peuvent aujourd'hui nous sembler triviales. Catherine Goldstein étudie leur application concrète au problème suivant : quand est-ce qu'un nombre donné est l'hypoténuse d'un triangle rectangle ? Il met en place un système de tables permettant de repérer la propriété commune des hypoténuses, et en arrive à utiliser la décomposition en facteurs premiers.
  • Frénicle de Bessy fonde une activité mathématique ancrée à la fois dans (i) la pratique sociale de l'échange des problèmes, (ii) un état du discours mathématique où l'arithmétique est intégrée dans l'analyse, qui unifie le discret et le continu, et dans (iii) une anthropologie qui donne une place prédominante aux facultés de mémoire et d'attention. Surtout, il s'agit de fonder ici la pratique de la découverte et de la solution de problèmes, non la déduction ou la formation de théorèmes ; il s'agit avant tout, pour reprendre l'analyse d'Hélène Verin, de "mettre en art" la solution des problèmes mathématiques. Sa méthode repose sur une conception classique de l'argumentation, dont l'archétype peut être trouvé dans le Novum Organum de Francis Bacon : il s'agit en science de partir des particuliers pour remonter aux principes, avant de redescendre vers la connaissance et la maîtrise pratique des particuliers.
  • Charles Hermite propose une fondation des mathématiques qui ne fait pas appel à l'idée de rigueur. Il comprend les objets mathématiques comme des espèces naturelles qu'il s'agit de classifier. Les principes qu'il préconise pour parvenir à cette classification ne sont pas choisis pour leur caractère élémentaire, mais pour leur fécondité. Ils se ramènent à des principes d'analyse, formés à partir de la réduction d'objets, par exemple les formes quadratiques.
  • Frénicle de Bessy et Charles Hermite, s'ils sont bien investis dans la recherche de principes, ne sont pas prioritairement intéressés par la rigueur formelle, mais plutôt pas des critères de simplicité et de fécondité. Bien qu'ils aient été au coeur de polémiques cruciales, ils sont très rarement étudiés dans l'histoire des fondements des mathématiques. Pourtant, il est important de s'intéresser à leurs travaux, afin de comprendre quelles pratiques cette histoire a exclu.
Titre: Que fonder ? Que justifier ? Quelques (contre)-exemples
Sous-titre: PIEA : "Fondements et Justification des Pratiques en Mathématiques" #4.
Auteur(s): GOLDSTEIN, Catherine
Durée: 00:38:33
Date de réalisation: 16/06/2004
Lieu de réalisation:
Maison Suger - 16-18 rue Suger Paris 75006
Reid Hall - 4 rue de Chevreuse Paris 75006
France
Catherine Goldstein étudie deux mathématiciens travaillant à contre courant des pratiques canoniques de fondation des mathématiques. Au XVIIe siècle, Frénicle de Bessy propose une mise en art de la recherche des solutions de problèmes mathématiques. Au XIXe siècle, Charles Hermite s'intéresse moins aux critères de rigueur et d'élémentarité qu'à celui de fécondité, et limite les principes à un rôle de classification des espèces mathématiques.
Sujet: Sujet
Topique: La question du fondement de la géométrie
Nom: ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche)
Rôle: Producteurs d'oeuvres audiovisuelles
Adresse: FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France
ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche), FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France
Nom: Goldstein
Prénom: Catherine
Rôle: Historiens des sciences
Appartenance: CNRS
Adresse: CNRS - Centre National de la Recherche Scientifique, France
Catherine Goldstein, CNRS - Centre National de la Recherche Scientifique, France
Type: Contexte "Recherche"
Public cible: Pour tout public
Cet exposé offre un point de vue pluraliste sur l'activité de fondation de la pratique mathématique.
GOLDSTEIN, Catherine. "Que fonder ? Que justifier ? Quelques (contre)-exemples", colloque PIEA : "Fondements et Justification des Pratiques en Mathématiques", 2004.
Type: Droit d'auteur relatif au contenu du document source
Cette ressource audiovisuelle est protégée par le régime "Creative Commons". Vous êtes libres de la reproduire, distribuer et communiquer au public. Mais vous devez impérativement signaler la paternité de(s) ayant-droit(s) du contenu du média: Catherine Goldstein, CNRS - Centre National de la Recherche Scientifique, France. Vous n'avez pas le droit de la modifier ni d'en faire un usage commercial. Lecture, diffusion et exploitation concrète de cette ressource audiovisuelle présuppose que vous ayez accepté les règles juridiques Creative Commons décrites dans la page http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.
Type: Droit d'auteur relatif à la production du document source
Cette ressource audiovisuelle est protégée par le régime "Creative Commons". Vous êtes libres de la reproduire, distribuer et communiquer au public. Mais vous devez impérativement signaler la paternité de son(ses) auteur(s): ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche), FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France ; Camille Bonnemazou, ESCoM-FMSH, Paris, France. Vous n'avez pas le droit de la modifier ni d'en faire un usage commercial. Lecture, diffusion et exploitation concrète de cette ressource audiovisuelle présuppose que vous ayez accepté les règles juridiques Creative Commons décrites dans la page http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.
Titre: Analyse de l'intervention de Catherine Goldstein au colloque PIEA : "Fondements et Justification des Pratiques en Mathématiques" 2004.
Langue(s): Français
Comment citer: POTTIN, Ange. Analyse de l'intervention de Catherine Goldstein au colloque PIEA : "Fondements et Justification des Pratiques en Mathématiques" 2004. AHM 2014.
Id analyse: d89c41bc-5ee9-4128-a5f1-f32a31d216aa
Id vidéo: a35702a7-af90-4c65-bbb6-6df748265012