Poincaré, une promenade dans les Méthodes nouvelles de la mécanique céleste. CHENCINER, Alain

Chapitre

Titre: Présentation générale
Durée: 00:05:09   [00:00:00 > 00:05:09]
Il s'agira dans cet exposé de montrer ce qu'on peut trouver dans les trois tomes des Méthodes Nouvelles, parus respectivement en 1892, 1893 et 1899. Ces ouvrages font suite à un mémoire que Poincaré a dû retirer de l'édition après s'être rendu compte qu'il contenait une erreur : dans l'introduction, il affirmait avoir démontré la stabilité du problème des trois corps. Cette erreur féconde et sa correction amènent Poincaré à mettre en place, dans les Méthodes nouvelles, rien de moins que la théorie des systèmes dynamiques, en prenant pour point de départ le problème le plus simple, à savoir le problème restreint des trois corps.
Titre: Présentation générale du problème des n corps
Durée: 00:06:32   [00:05:09 > 00:11:42]
On se donne des masses ponctuelles et des forces en 1/R2 de type F = ma. La résolution est très simple dans le cas des deux corps, et devient extrêmement compliqué avec trois corps. De manière générale, il s'agit d'un problème de stabilité : on se demande si, trois planètes étant données, il y a possibilité asymptotique de collisions ou que l'une d'elles échappe de son orbite. Ce problème a trouvé une première résolution chez Hill dans le cas lunaire, qui démontre que, dans un temps infini, elle restera confinée dans une certaine région.
Titre: Le problème restreint des trois corps ; ses deux avatars planétaires et lunaires
Durée: 00:06:00   [00:11:42 > 00:17:42]
Le problème restreint est celui dans lequel l'une des trois masses est nulle ; elle n'affecte pas le mouvement des autres corps, mais est affecté par eux. Poincaré traite de deux avatars du problème : le cas lunaire et le cas planétaire. Dans le cas lunaire, on s'intéresse à la perturbation du mouvement de la lune par rapport à la terre, tandis que dans le cas planétaire on s'intéresse à la perturbation du mouvement d'une planète de masse nulle en orbite autour du soleil par rapport aux mouvements du soleil et d'une autre planète de masse non nulle.
Titre: Le "problème général de la dynamique" comme problème de perturbation ; les équations
Durée: 00:13:13   [00:17:42 > 00:30:56]
Poincaré ramène le problème restreint des trois corps au problème général de la dynamique, qu'il considère comme un problème de perturbation. Dans le cas planétaire, le petit paramètre est joué par la masse de Jupiter, et on se demande comment cette masse va affecter la trajectoire elliptique de la planète de masse nulle ; dans le cas lunaire, c'est le rapport de la distance lune-terre sur la distance terre-soleil. Alain Chenciner expose les équations et les coordonnées qui vont servir à traiter le problème. Ces équations permettent de maintenir constantes les quantités d'énergie et le moment cinétique des mouvements. Ce qui varie en fonction du temps, ce sont les angles. On peut alors formuler ainsi le problème général de la dynamique : on rajoute sur un système totalement intégrable des termes de perturbatino qui dépendent de toutes les actions et de tous les angles, et on chercher à savoir comment le système va se modifier.
Titre: Mise en place par Poincaré d'un repère tournant
Durée: 00:05:43   [00:30:56 > 00:36:39]
Pour étudier ce mouvement, Poincaré met en place un repère tournant pour un mouvement uniforme circulaire à vitesse angulaire constante. Cette technique permet de voir beaucoup plus clairement la perturbation, car elle permet de lever la dégénérescence du mouvement képlerien. On peut également écrire un hamiltonien, qui jouera le rôle du F0 totalement intégrable.
Titre: Les solutions périodiques et le résultat de stabilité de Hill
Durée: 00:10:06   [00:36:39 > 00:46:45]
A la fin du dernier volume, Poincaré met en place les solutions périodiques du problème. Afin de les comprendre, il faut introduire le résultat de stabilité de Hill ; ce que fait Alain Checiner dans cette section. Ce résultat procède par une projection des équations dans le plan, projection qui dépend des valeurs de l'énergie. Pour certaines valeur d'énergie, on obtient un espace, qu'on appelle "région de Hill", au sein duquel le mouvement restera confiné, excluant la possibilité que le corps s'échappe. Il est par contre beaucoup plus difficile de montrer qu'il n'y aura pas de collisions.
Titre: Les coordonnées de Poincaré pour les mouvements circulaire et elliptique
Durée: 00:08:06   [00:46:45 > 00:54:52]
Pour les besoins de la représentation géométrique du problème, Poincaré introduit un nouveau système de coordonnées, qu'on appelle désormais les coordonnées de Poincaré. Elles ont pour particularité qu'elles gardent un sens au voisinage d'un mouvement circulaire. En réalité, ce ne sont pas tout à fait des coordonnées, mais plutôt un revêtement à deux feuillets, car deux valeurs de ces coordonnées correspondent à une même valeur physique des variables.
Titre: La représentation géométrique du problème
Durée: 00:06:41   [00:54:52 > 01:01:34]
En fixant l'énergie, on obtient deux variables angulaires représentées par des cercles ; sur les deux bords, on a les coordonnées. Le problème prend alors une nature topologique : il faut prendre le produit de l'anneau par le cercle, et passer au quotient par relation d'équivalence. Ce qu'on obtient alors est la sphère SO3. Les coordonnées de Poincaré nous ramènent dans la sphère S3. Pour résumer, ce traitement géométrique permet de ramener le problème à un problème différentiel dans R3, avec trois coordonnées.
Titre: La surface de section des solutions circulaires et l'application d'un espace dans lui-même
Durée: 00:11:00   [01:01:34 > 01:12:34]
Alain Checiner retrace le chemin qui amène Poincaré à introduire la surface de section : on commence par représenter les orbites circulaires dans R3 ; l'orbite directe apparaît comme un cercle sur le plan horizontal, tandis que l'orbite rétrograde apparaît sur l'axe x = y = 0. Poincaré considère ensuite le demi plan y = 0 et x positif bordé par la solution de Hill. Les solutions circulaires engendrent alors un tore de dimension deux ; la périodicité des solutions dépend alors du rapport des fréquences de rotation du repère et de celles du mouvement képlerien. Ce procédé consiste en fait à définir l'application de premier retour de Poincaré, comme application transerversale du demi plan dans lui-même, qui rencontre toutes les solutions périodiques. Une telle étude des transformations d'un espace dans lui-même permet de trouver les invariants du mouvement.
Titre: Les invariants intégraux
Durée: 00:07:49   [01:12:34 > 01:20:23]
Le caractère hamiltonien des équations a une conséquence, qui est qu'il existe une mesure donnée qui est préservée par cette application de premier retour. C'est là qu'apparaît la notion d'invariants intégraux, comme quantités définies par des mesures ou des formes différentielles qui sont préservées par les équations du mouvement. Ces invariants jouent un rôle d'erzatz des quantités intégrables au sein d'un système qui n'est plus, contrairement au mouvement képlerien simple, totalement intégrable. Ce point de vue garde sa pertinence aujourd'hui dans l'étude des obstructions à l'intégrabilité des systèmes.
Titre: Figure récapitulative : ce qu'en comprenait Poincaré
Durée: 00:12:10   [01:20:23 > 01:32:34]
Pour présenter de manière synthétique les résultats de Poincaré, Alain Checiner montre une figure récapitulative. On y trouve notamment un cercle invariant, qui n'est en réalité qu'une collection molle d'une infinité d'orbites périodiques. L'erreur de Poincaré a été de penser que, dans ce mouvement, tout se passait comme dans les phases d'un pendule. Or, si, au niveau formel les courbes coïncident, la situation réelle est qu ces courbes invariantes par l'application de premier retour ont une intersection qui a un angle exponentiellement petit.
Titre: Commentaire de la figure récapitulative
Durée: 00:06:11   [01:32:34 > 01:38:46]
Langue(s): Afrikaans
Alain Checiner présente ici certains résultats nouveaux apportés par la théorie des systèmes dynamiques. Il évoque notamment le réseau d'intersection des variétés stables et instables ainsi que la théorie KAM, qui permet de surmonter le problème des petits dénominateurs.
Titre: Présentation de la table des matières du premier et deuxième livres
Durée: 00:10:18   [01:38:46 > 01:49:04]
Dans cette section, Alain Chenciner présente et commete la table des matières de deux premiers volumes, ce qui permet de voir comment les différents résultats précédemment présentés s'agencent dans l'économie de l'oeuvre.
Titre: Présentation de la table des matières du troisième livre
Durée: 00:10:37   [01:49:04 > 01:58:04]
Comme dans la section précédante, Alain Chenciner présente ici le troisième volume.

14 chapitres.
  • Il s'agira dans cet exposé de montrer ce qu'on peut trouver dans les trois tomes des Méthodes Nouvelles, parus respectivement en 1892, 1893 et 1899. Ces ouvrages font suite à un mémoire que Poincaré a dû retirer de l'édition après s'être rendu compte qu'il contenait une erreur : dans l'introduction, il affirmait avoir démontré la stabilité du problème des trois corps. Cette erreur féconde et sa correction amènent Poincaré à mettre en place, dans les Méthodes nouvelles, rien de moins que la théorie des systèmes dynamiques, en prenant pour point de départ le problème le plus simple, à savoir le problème restreint des trois corps.
  • On se donne des masses ponctuelles et des forces en 1/R2 de type F = ma. La résolution est très simple dans le cas des deux corps, et devient extrêmement compliqué avec trois corps. De manière générale, il s'agit d'un problème de stabilité : on se demande si, trois planètes étant données, il y a possibilité asymptotique de collisions ou que l'une d'elles échappe de son orbite. Ce problème a trouvé une première résolution chez Hill dans le cas lunaire, qui démontre que, dans un temps infini, elle restera confinée dans une certaine région.
  • Le problème restreint est celui dans lequel l'une des trois masses est nulle ; elle n'affecte pas le mouvement des autres corps, mais est affecté par eux. Poincaré traite de deux avatars du problème : le cas lunaire et le cas planétaire. Dans le cas lunaire, on s'intéresse à la perturbation du mouvement de la lune par rapport à la terre, tandis que dans le cas planétaire on s'intéresse à la perturbation du mouvement d'une planète de masse nulle en orbite autour du soleil par rapport aux mouvements du soleil et d'une autre planète de masse non nulle.
  • Poincaré ramène le problème restreint des trois corps au problème général de la dynamique, qu'il considère comme un problème de perturbation. Dans le cas planétaire, le petit paramètre est joué par la masse de Jupiter, et on se demande comment cette masse va affecter la trajectoire elliptique de la planète de masse nulle ; dans le cas lunaire, c'est le rapport de la distance lune-terre sur la distance terre-soleil. Alain Chenciner expose les équations et les coordonnées qui vont servir à traiter le problème. Ces équations permettent de maintenir constantes les quantités d'énergie et le moment cinétique des mouvements. Ce qui varie en fonction du temps, ce sont les angles. On peut alors formuler ainsi le problème général de la dynamique : on rajoute sur un système totalement intégrable des termes de perturbatino qui dépendent de toutes les actions et de tous les angles, et on chercher à savoir comment le système va se modifier.
  • A la fin du dernier volume, Poincaré met en place les solutions périodiques du problème. Afin de les comprendre, il faut introduire le résultat de stabilité de Hill ; ce que fait Alain Checiner dans cette section. Ce résultat procède par une projection des équations dans le plan, projection qui dépend des valeurs de l'énergie. Pour certaines valeur d'énergie, on obtient un espace, qu'on appelle "région de Hill", au sein duquel le mouvement restera confiné, excluant la possibilité que le corps s'échappe. Il est par contre beaucoup plus difficile de montrer qu'il n'y aura pas de collisions.
  • Pour les besoins de la représentation géométrique du problème, Poincaré introduit un nouveau système de coordonnées, qu'on appelle désormais les coordonnées de Poincaré. Elles ont pour particularité qu'elles gardent un sens au voisinage d'un mouvement circulaire. En réalité, ce ne sont pas tout à fait des coordonnées, mais plutôt un revêtement à deux feuillets, car deux valeurs de ces coordonnées correspondent à une même valeur physique des variables.
  • En fixant l'énergie, on obtient deux variables angulaires représentées par des cercles ; sur les deux bords, on a les coordonnées. Le problème prend alors une nature topologique : il faut prendre le produit de l'anneau par le cercle, et passer au quotient par relation d'équivalence. Ce qu'on obtient alors est la sphère SO3. Les coordonnées de Poincaré nous ramènent dans la sphère S3. Pour résumer, ce traitement géométrique permet de ramener le problème à un problème différentiel dans R3, avec trois coordonnées.
  • Alain Checiner retrace le chemin qui amène Poincaré à introduire la surface de section : on commence par représenter les orbites circulaires dans R3 ; l'orbite directe apparaît comme un cercle sur le plan horizontal, tandis que l'orbite rétrograde apparaît sur l'axe x = y = 0. Poincaré considère ensuite le demi plan y = 0 et x positif bordé par la solution de Hill. Les solutions circulaires engendrent alors un tore de dimension deux ; la périodicité des solutions dépend alors du rapport des fréquences de rotation du repère et de celles du mouvement képlerien. Ce procédé consiste en fait à définir l'application de premier retour de Poincaré, comme application transerversale du demi plan dans lui-même, qui rencontre toutes les solutions périodiques. Une telle étude des transformations d'un espace dans lui-même permet de trouver les invariants du mouvement.
  • Le caractère hamiltonien des équations a une conséquence, qui est qu'il existe une mesure donnée qui est préservée par cette application de premier retour. C'est là qu'apparaît la notion d'invariants intégraux, comme quantités définies par des mesures ou des formes différentielles qui sont préservées par les équations du mouvement. Ces invariants jouent un rôle d'erzatz des quantités intégrables au sein d'un système qui n'est plus, contrairement au mouvement képlerien simple, totalement intégrable. Ce point de vue garde sa pertinence aujourd'hui dans l'étude des obstructions à l'intégrabilité des systèmes.
  • Pour présenter de manière synthétique les résultats de Poincaré, Alain Checiner montre une figure récapitulative. On y trouve notamment un cercle invariant, qui n'est en réalité qu'une collection molle d'une infinité d'orbites périodiques. L'erreur de Poincaré a été de penser que, dans ce mouvement, tout se passait comme dans les phases d'un pendule. Or, si, au niveau formel les courbes coïncident, la situation réelle est qu ces courbes invariantes par l'application de premier retour ont une intersection qui a un angle exponentiellement petit.
Titre: Poincaré, une promenade dans les Méthodes nouvelles de la mécanique céleste
Sous-titre: Séminaire Histoires de Géométries, année 2008
Auteur(s): CHENCINER, Alain
Date de réalisation: 17/03/2008
Lieu de réalisation: Fondation Maison des Sciences de l'Homme - 54, Boulevard Raspail - 75006 Paris, France
Genre: Cours d'enseignement supérieur filmé
Langue(s): Français
Alain Chenciner retrace les grandes orientations qui animent le travail de Poincaré dans les trois tomes des Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste. Après une présentation synthétique du problème restreint des trois corps qui en constitue le coeur, il met en place certains des concepts et des outils principaux du traitement géométrique de la mécanique céleste, qui donne naissance à la théorie des systèmes dynamiques. Il est notamment question des coordonnées de Poincaré dans un repère tournant, de la surface de section des solutions périodiques et des invariants intégraux. Finalement, A. Chenciner présente la table des matières de ce travail exceptionnellement riche.
Sujet: Sujet
Topique: Mécanique céleste
Le problème à n corps étudié par Poincaré trouve son champ d'application principal dans la mécanique céleste.
Sujet: Personnalité
Topique: Poincaré, Henri
Sujet: Sujet
Topique: Théorie des systèmes dynamiques
Les Méthodes Nouvelles de Poincaré peuvent être vues comme un des ouvrages fondateurs de la théorie contemporaine des systèmes dynamiques.
Nom: Chenciner
Prénom: Alain
Rôle: Contributeur (par catégorie)
Adresse: Université Paris VII-Denis Diderot, France
Alain Chenciner, Université Paris VII-Denis Diderot, France
Nom: Dominique Flament
Rôle: Contributeur (par catégorie)
Fonction: Laboratoire d'Histoire des Sciences et de Philosophie - Archives Henri Poincaré
Adresse: UMR 7117 CNRS/Nancy Université, F2DS/FMSH, France
Dominique Flament, Laboratoire d'Histoire des Sciences et de Philosophie - Archives Henri Poincaré, UMR 7117 CNRS/Nancy Université, F2DS/FMSH, France
Nom: ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche)
Rôle: Producteurs d'oeuvres audiovisuelles
Adresse: FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France
ESCoM-AAR (Equipe Sémiotique Cognitive et Nouveaux Médias - Archives Audiovisuelles de la Recherche), FMSH (Fondation Maison des Sciences de l'Homme), Paris, France
CHENCINER, Alain. "Poincaré, une promenade dans les Méthodes nouvelles de la mécanique céleste", séminaire Histoires de Géométries, année 2008, [en ligne] : http://www.archivesaudiovisuelles.fr/FR/_video.asp?id=1395&ress=4342&video=5424&format=68
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Titre: Analyse de l'intervention d'Alain Chenciner au séminaire Histoires de Géométries, année 2008.
Langue(s): Français
Type: Analyse plus détaillé
Comment citer: © POTTIN, Ange. « Analyse de l'intervention d'Alain Checiner au séminaire Histoires de Géométries, année 2008» (AHM 2014), © de PABLO, Elisabeth (révision AHM 2016), URL Vidéo: http://www.archivesaudiovisuelles.fr/FR/_video.asp?id=1395&ress=4342&video=5424&format=68
Id analyse: f7631082-f5c2-4fff-af11-da2dc718d885
Id vidéo: 62a7a84e-651c-4a6c-957e-04b9d4764f46
Analyse de l'intervention d'Alain Chenciner sur les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Celeste de Poincaré au séminaire Histoires de Géométries, année 2008.